ЛЕКЦИЯ 1
Элементы теории вероятностей
Тема: Предмет теории вероятностей. Статистическая вероятность. Алгебра событий. Аксиоматика. Вероятность, ее свойства.
- Теория вероятностей-математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные процессы.
- Случайное явление-явление, наступление которого нельзя предвидеть в точности. Почему? Вследствие:
- незнания вызывающих их причин;
- изобилия этих причин;
- практической невозможности считаться с ними.
Примеры случайных явлений: длительность произвольного телефонного разговора; выпадение определенного количества очков на игральной кости; выигрышные номера в лотерее и т. д. Результат одного случайного явления предвидеть нельзя. Если оно повторяется многократно, то можно наблюдать вероятностно-статистическую закономерность.
Результаты опытов по бросанию монеты.
№ п/п | Авторы |
|
|
|
1 | Ж. Блюффон | 4040 | 2048 | 0,5080 |
2 | 80640 | 39702 | 0,4923 | |
3 | К. Пирсон | 12000 | 6019 | 0,5016 |
4 | К. Пирсон | 24000 | 12012 | 0,5005 |
5 | 10000 | 5087 | 0,5087 |
Пусть А - событие (наступает в опыте, которое может быть повторено с соблюдением условий неограниченное число раз), которое в данном случае заключается в выпадении герба при бросании монеты, ;mn(A)-кол-во появлений события А в “n”-опытах; hn(A)-частота появления события А в “n”-опытах.
- P(A)-называется статистической вероятностью появления события А. Это число около которого группируются частоты этого события при увеличении числа испытаний (статистическое определение).
hn 
- частота выпадения герба.
- Возможный исход эксперимента (опыта) называется элементарным исходом или элементарным событием (ω).
Пример 1: Самый простой эксперимент имеет два исхода. Бросание монеты, где исходами являются выпадение “герба” или “решки”.
- Возможный набор исходов эксперимента будем называть пространством элементарных исходов (событий) Ω. В примере 1: пространство элементарных событий состоит из двух точек Ω={0;1}.
- Событием называется подмножество пространства элементарных событий.
Пример 2: Бросание игральной кости один раз – пример эксперимента с большим числом исходов.Ω={1;2;3;4;5;6}
Пример 3: Бросание игральной кости и выпадение более 4-х очков-состоит из двух элементарных событий А={5};В={6}.
- Объединение (сложение) событий А и В
А∪В это А или В
ω∈(А∪В)⇔(ω∈А)∨(ω∈В)
“∨”-“или”
Пример 4: Бросаем игральную кость и рассматриваем два события :А={1;3} (выпадение единицы или тройки); и В={1;3;4} (выпадение единицы, тройки, четвёрки).
Здесь: А∪В={1;3;4}.
- Пересечение (произведение) событий А и В
А∩В это “А и В” одновременно.
ω∈(А∩В)⇔(ω∈A)∧(ω∈B)
“∧”-“и”
Здесь: А∩В={1;3} (из примера 4)
- Будем говорить, что событие А содержится в событии В (A⊆B), если любое элементарное событие из А входит и в В.
Здесь А⊆В (из примера 4)
- События А и В совпадают или равны (А=В) если А⊆В и В⊆А. События А и В называются несовместными, если А∩В=∅.
Пример 5: Бросаем игральную кость и рассматриваем события А={1;3}; В={3;5}; С={5;6}. Здесь: А∩В={3}; A∩C=∅. A∪B={1;3;5}; A∪C={1;3;5;6}.
- Дополнением (
) к событию А (или противоположное к А) называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые не входят в А. Здесь (из примера 5): 
.
- Разностью между событиями А и В (А\В) будем называть событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в А, но не входят в В.
Здесь (из примера 5): С\В={6}; C\A=C, так как С∩А=∅.
Пусть А∈Ω (то есть А-событие) - произвольное подмножество пространства элементарных событий Ω для некоторого эксперимента. Проведение эксперимента сводится к наблюдению элементарного исхода ω∈Ω. Если ω∈А, то говорят, что произошло событие А. Если же это не так, то говорят, что событие не произошло (то есть ω∉А).
- Событие, отвечающее всему множеству элементарных исходов, называется достоверным событием (оно происходит всегда, так как ω∈Ω ∀ ω). Событие, отвечающее пустому множеству ∅, называется невозможным.
Отметим справедливость формул:
Покажем справедливость последнего из них: то есть нужно показать, что 
и 
.
Пусть 
.
И обратно: 
, т. е. 
.
Законы двойственности Де Моргана
и 
.
- Множество событий {Ai} называют счетным, если элементы этого множества можно занумеровать в бесконечную последовательность: A1, А2, А3,…, Аn, … .
Для счетного множества событий {Ai}i=1 операции пересечения и объединения событий определяются так же, как и для конечного числа событий.
- - событие, заключающееся в осуществлении хотя бы одного из событий: A1, А2, … , An, … . - событие, заключающееся в осуществлении всех
событий: А1, А2, … , An, …одновременно!
“σ”-алгебра событий.
Пусть F-система событий (или F-множество подмножеств Ω), которая удовлетворяет условиям:
1)Ω∈F, ∅∈F.
2)Если А1, А2, …∈F, то ∈F
3) 
Система событий F, удовлетворяющая этим условиям называется “σ”-алгеброй событий.
- События А1,А2, …, An образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них в результате испытания непременно должно произойти, то есть А1+А2+…+Аn=Ω.
