.  (8.6)

Здесь -  периодическая функция координат:

                               

  .

Параметры в этих равенствах представляют собой периоды кристаллической решетки вдоль координатных осей . Блох показал, что решение уравнения (8.6) имеет вид

       

где  – функция координат, имеющая периодичность решетки, – волновой вектор, - радиус-вектор.

Ранее уже отмечалось, что для свободного нерелятивистского электрона в кристалле (без учета поля решетки) зависимость его энергии от модуля волнового вектора описывается квадратичной функцией

                                        .  (8.7)

Нетрудно найти промежуток между соседними значениями энергии:

                               .

Если  ,

                                               .

Подставив численные значения, получим, что эВ. Найденное число мало настолько, что возможные значения энергии электрона в кристалле можно рассматривать как квазинепрерывную последовательность.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

График зависимости (8.7) фактически состоит из отдельных точек, расположенных так густо, что при зрительном восприятии они сливаются в сплошную линию. Для электрона,  движущегося  в поле одномерного кристалла с периодом решетки , соответствующий график изображен на рис. 8.2,б. В данном случае сплошным участкам графика соответствуют  промежутки  квазинепрерывного изменения энергии (разрешенные зоны). Промежутки энергии, соответствующие разрывам графика, недоступны электронам, и называются запрещенными зонами.  Каждая разрешенная зона состоит из близкорасположенных уровней, число которых примерно равно количеству атомов в кристалле. Область -пространства, в пределах которой энергия электрона изменяется квазинепрерывно, называется зоной Бриллюэна; на границах зон энергия терпит разрыв. На рис. 8.2,б показаны две зоны Бриллюэна в случае одномерного кристалла. Для трехмерных кристаллов границами зон Бриллюэна  являются замкнуты многогранные поверхности.

При рассмотрении простейшей квантовой теории электропроводности металлов отмечалось, что влияние кристаллической решетки на движение свободных электронов можно учесть, если в уравнении движения, учитывающем действие на электроны только внешнего электрического поля,  вместо фактической массы использовать эффективную массу:

                                                                                       (8.8)

(здесь – энергия электрона, - модуль волнового вектора дебройлевской волны).  Из этого равенства следует, что значение эффективной массы определяется второй производной энергии электрона по переменной . В качестве иллюстрации рассмотрим, как  же зависит эффективная масса от энергии в пределах первой зоны Бриллюэна.

       Вблизи дна зоны (точка на рис. 8.3) ход кривой  практически не отличается от аналогичной зависимости для свободных

                                       Рис. 8.2

электронов, изображенной на рис. 8.2,а. Это означает, что  в данном случае значения эффективной и фактической масс совпадают. В точке перегиба (точка ) вторая производная энергии по переменной равна нулю.  Из  равенства (8.8) следует, что при этом эффективная масса имеет бесконечно большое значение, т. е. внешнее электрическое поле не может изменить движение электрона.  Вблизи потолка зоны (точка ) вторая производная и, соответственно, эффективная масса отрицательны; это означает, что электрон движется в направлении, противоположном действующей на него силе.

       Итак, в рамках зонной теории  валентные электроны атомов в металле

                       

Рис. 8.3

можно считать свободными потому, что значения их энергии образуют квазинепрерывную последовательность  с исчезающе малым промежутком между соседними значениями (порядка эВ).        

8.4. Электропроводность металлов и полупроводников в зонной теории

       В зависимости от химической природы и симметрии кристаллов структура энергетических зон и их взаимное расположение могут  весьма существенно различаться. В левой части рис. 8.5 изображены уровни энергии , ,,  характерные для валентных электронов изолированного атома, в правой части – энергетические зоны, которые образуются в результате расщепления этих уровней при образовании кристалла. Промежутки значений энергии, которые доступны электронам, называются разрешенными зонами, в противном случае энергетический промежуток называется запрещенной  зоной. На рис. 8.5 справа видно, что зоны и    разделены запрещенной зоной, а зоны и  частично перекрываются.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4