Открытый урок в рамках городского семинара «Система воспитательной работы
по формированию интеллектуально-развитой личности, обладающей конкурентоспособными знаниями, креативным мышлением, высокими гражданскими и нравственными принципами» для заместителей директоров школ
по воспитательной работе
по теме: «Магия треугольника»
(учитель информатики , учитель математики , 27.02.2013)
Тип урока: кейс-урок
Проблема: Всё ли мы знаем про треугольники: Невозможное возможно? Есть ли в треугольнике что-то магическое?
Цели:
- познакомить учащихся с понятием невозможного треугольника и историей его возникновения; научить искать противоречия в построении невозможной фигуры; закрепить умение строить объемные фигуры с помощью треугольных плиток в программе Impossible Puzzle; получить арифметический треугольник; выявить ряд закономерностей треугольника Паскаля; познакомить с историческим материалом, связанным с треугольником Паскаля; проанализировать полученный результат; формирование навыков самостоятельного поиска информации с применением ИКТ; развивать познавательный интерес к предмету, ответственность, самостоятельность; развивать математическое и пространственное мышление; расширение кругозора и развитие интеллекта учащихся.
Кейсы для учащихся:
1) Подготовить презентацию по теме «Треугольники в жизни».
2) Подготовить презентацию по истории возникновения «невозможного треугольника».
3) Подготовить презентацию на тему «Невозможный треугольник в реальном мире».
4) Построить макет невозможного треугольника.
5) Написать программу для построения треугольника Паскаля на языке программирования Pascal.
Материалы и оборудование к уроку: компьютерный класс, интерактивная доска, презентация к уроку, программа TREUGPAS. pas, программа Impossible Puzzle, файл для практической работы Невозможный треугольник. xml
Ход урока
I. Организационный момент (учитель математики.)
- Ребята, сегодня у нас необычный урок. Урок – праздник. Почему праздник? Потому что у нас много гостей. Когда гость дома, то дома праздник. Тема нашего урока «Магия треугольника».
Треугольники встречаются повсюду нужно только уметь их увидеть.
II. (Выступление учащейся с презентацией «Треугольники в жизни» - Кейс 1)
- Ребята, а всё ли мы знаем про треугольники? Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения. И вам сегодня предстоит познакомиться ещё с двумя необычными, удивительными, а может быть даже магическими треугольниками.
III. (Вступает учитель информатики) – А где магия, там есть место и иллюзии…
Посмотрим на фигуру приведенную на слайде. Думаю, никто не будет спорить, что это…треугольник cоставленный из брусков. Но все ли с ним в порядке. Нет ли противоречий в его построении? (Учащиеся отвечают)
-Закроем листом бумаги верхний и правый угол, тогда увидим, что фигура развернута немного вниз; теперь закроем два нижние угла – фигура повернута чуть влево;
закроем верхний и левый угол – фигура развернута вверх. Возможно ли это…? Соединить все эти три направления в пространстве в одной фигуре невозможно. Таким образом - перед вами знаменитый невозможный треугольник.
IV. Кто первый его создал, какова его история? (Выступление учащейся с презентацией «История невозможного треугольника» - Кейс 2)
История невозможного треугольника
В 1934 году Оскар Реутерсвард создал первый невозможный треугольник, составленный из 9 кубиков. В 1980 году Шведское правительство решило разместить невозможный треугольник на почтовых марках, которые выпускались с 1982 года примерно два года.
В 1954 году Роджер Пенроуз (анг. уч. матем.) после лекции голландского графика открыл заново невозможный треугольник и нарисовал его в более привычной форме. Треугольник составлен из трех балок, расположенных под прямым углом друг к другу.
В 1961 году Морис Корнелиус Эшер под впечатлением невозможного треугольника, нарисованного Пенроузом создал знаменитую литографию "Водопад" ("Waterfall"). Водопад играет роль вечного двигателя, а башни кажутся одинаковыми, хотя в левой на один этаж больше чем в правой. С этого времени невозможный треугольник появляется несчетное количество раз в различных работах.
V. - Благодаря своей популярности многие считают, что невозможный треугольник действительно невозможно воспроизвести в реальном мире. Но так ли это…? С этим кейсом работала … (Выступление учащейся с презентацией «Невозможный треугольник в реальном мире» - Кейс 3).
Невозможный треугольник в реальном мире
Бельгийский художник и математик Матье Хемакерз создал скульптуру, которая выглядит как невозможный треугольник. Эта скульптура установлена в центре бельгийской деревни Опховен, где живет в настоящее время художник.
Но смещая точку обзора, раскрывается природа данной конструкции – в данной фигуре вообще нет прямых линий, все элементы фигуры изогнуты определенным образом. Однако эффект невозможности заметен лишь при одном угле обзора, когда все изогнутые линии проецируются в прямые. Посмотрим на компьютерную модель этой фигуры (Видеоролик The impossible triangle made possible. mp4)
Необычайная достопримечательность появилась в 1999 году в aвстралийском городе Перт. Огромная 13-метровавая фигура "невозможного треугольника" была воздвигнута в парке. Эта фигура невозможного треугольника видна не только в восточном Перте, но и из домов в центре города. Я предлагаю посмотреть видеоролик, который раскрывает секрет этой конструкции (Видеоролик Impossible Escher-style triangle found in real life!.mp4)
VI. - Вы видите, что все эти конструкции созданы художниками и архитекторами, а возможно ли каждому из нас построить невозможный треугольник? Работу над этим кейсом представит … (Учащаяся представляет макет невозможного треугольника+видеоролик)
VII. - Перед вами две замкнутые фигуры. Какая из них является возможной, какая нет?
(Ответ: фигура а возможна, b - нет)
-В чем вы видите противоречие невозможной рамки? (Ответ: левая половина развернута вверх, а правая - вниз)
VIII. Такие возможные и невозможные фигуры позволяет моделировать программа Impossible Puzzle. Программа содержит набор треугольных плиток (!), в которых окрашены один, два или три угла, а так же одна или две стороны, или угол и сторона.
На прошлом занятии мы знакомились с вами с интерфейсом программы, и научились создавать в ней объемные фигуры. Сегодня на уроке, воодушивившись идеей невозможных фигур, идеей иллюзии мы попробуем превратить одну фигуру в другую!
IX. Практическая работа. - Загрузите программу Impossible Puzzle на своих компьютерах. Откройте с диска файл Невозможный треугольник. xml. В начале нашего разговора мы уже рассмотрели его противоречия.
Задание. Изменить рисунок, так чтобы треугольник стал возможным.
- Возьмите за основу один из углов треугольника. Удалите плитки, которые вам мешают в восприятии фигуры. (Один ученик выполняет это задание на интерактивной доске)
Решение
X. (Слайд «Невозможное возможно?») - Итак, ребята, мы рассмотрели с вами замечательный треугольник. Но какое странное словосочетание «Невозможный треугольник». Если он невозможный, значит он не существует или…?. Мне бы хотелось услышать ваше мнение (Ответ: Невозможный треугольник существует, только невозможным он выглядит лишь с одной точки обзора, а со всех других обычной фигурой)
ХI. (Вступает учитель математики.)
- Вот видите, ребята, вы сегодня узнали даже о существовании невозможного треугольника. А мы с вами рассмотрим треугольник ещё и в алгебре. Неожиданно, правда? На уроках алгебры в разделе “Формулы сокращённого умножения” нами были доказаны формулы квадрата и куба двучлена a+b. Возведение данного двучлена в натуральную степень n больше 3, например в 10, требует внимания и времени. Для решения нужно раскрыть все скобки, перемножить, привести подобные слагаемые и получить ответ. Как видно, это достаточные долгие вычисления.
Поставим вопрос о том, можно ли эти формулы обобщить на произвольную натуральную степень 
, т. е. рассмотрим следующий многочлен (a+b)n относительно 
и 
и степени 
:
(a+b)0=1
(a+b)1=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Выпишем коэффициенты, стоящие в разложении в правой части каждой формулы в виде треугольника. Расположим числа следующим образом:
Номер строки 1, n = 0 1
Номер строки 2, n = 1 1 1
Номер строки 3, n = 2 1 2 1
Номер строки 4, n = 3 1 3 3 1
Дома вы должны были написать разложения (a+b)4 , (a+b)5 , (a+b)6 , т. е. представить в виде многочлена стандартного вида. Что у вас получилось? (три человека выходят и записывают свои полученные многочлены):
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 +b4
(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 +10a2b3 +5ab4 +b5
(a+b)6 = a6 +6 a5b +15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
А теперь выпишите коэффициенты из своих разложений соответственно в пятую, шестую и седьмую строку нашего числового треугольника:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
Строка 5, n = 4 1 4 6 4 1
Строка 6, n = 5 1 5 10 10 5 1
Строка 7, n = 6 1 6 15 20 15 6 1
Этот числовой треугольник называется ТРЕУГОЛЬНИКОМ ПАСКАЛЯ и представляет собой коэффициенты в разложении (a+b)n. Номер строчки в этом треугольнике соответствует n+1.
- Посмотрите на этот треугольник, и скажите, нет ли здесь какой-нибудь закономерности, используя которую вы могли бы записать следующую строку данного треугольника (не возводя двучлен (а + в) в седьмую степень)? (Ответ: по боковым сторонам всегда стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке).
Принцип построения треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.
Продолжите сами, определите коэффициенты разложения для (a+b)7 и для (a+b)8 , т. е. заполните следующие две строчки (восьмую и девятую). А проверить правильность вашего разложения нам поможет программа, написанная на языке программирования Pascal (Ученик представляет программу-Кейс 4. Результат работы этой программы представлен ниже).
Номер строки 1, n = 0 1
Номер строки 2, n = 1 1 1
Номер строки 3, n = 2 1 2 1
Номер строки 4, n = 3 1 3 3 1
Строка 5, n = 4 1 4 6 4 1
Строка 6, n = 5 1 5 10 10 5 1
Строка 7, n = 6 1 6 15 20 15 6 1
Строка 8, n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
Строка 9, n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
- Но достаточно ли знать только коэффициенты разложения, для того чтобы возвести двучлен в любую степень? (Ответ: Нет)
- Давайте проследим закономерность определения степеней для а и в, входящих в одночлены в разложения. Посмотрите внимательно на формулы (слайд)
Заметим, что степени всех одночленов, входящих в состав разложения равны n, причем степень первого слагаемого a уменьшается с n до 0, а степень второго слагаемого b увеличивается с 0 до n.
Задание: зная коэффициенты разложения из таблицы Паскаля, напишите разложения для (a + b)7 и (a + b)8.
Решение: Воспользуемся коэффициентами восьмой (девятой) строки "треугольника Паскаля", получим: в правой части данного разложения сумма показателей степеней a и b в каждом слагаемом равна семи (восьми). Показатель степени величины a в каждом последующем слагаемом уменьшается на единицу от своего максимального значения в первом слагаемом до нуля в последнем слагаемом, а показатель степени величины b, наоборот, в каждом последующем слагаемом возрастает на единицу от нуля в первом слагаемом до своего максимального значения в последнем слагаемом.
Задание. Найдите сумму чисел в каждой строке. Номер строки 1, n = 0 1 S =1 = 20 Номер строки 2, n = 1 1 1 S = 2 = 21 Номер строки 3, n = 2 1 2 1 S = 4 = 22 Номер строки 4, n = 3 1 3 3 1 S = 8 = 23 Строка 5, n = 4 1 4 6 4 1 S = 16 = 24 Строка 6, n = 5 1 5 10 10 5 1 S = 32 = 25 Строка 7, n = 6 1 6 15 20 15 6 1 S = 64 = 26 Строка 8, n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 S = 128 = 27 Строка 9, n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 S = 256 = 28 Задача. В пятой (шестой /седьмой) строке найдите сумму чисел на чётных и сумму чисел на нечётных местах. Сравните. - Вот что сказал о треугольнике Паскаля известный американский писатель и математик Мартин Гарднер: «Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок..» - А вы сможете восстановить числа треугольника Паскаля? (Два человека по очереди выполняют у доски) - А теперь давайте посмотрим, какими замечательными свойствами обладает треугольник Паскаля? ( Выслушать ответы детей и обобщить.) - Скажите, ребята, а как нам на уроках может пригодиться треугольник Паскаля? (Ответ: Пользуясь треугольником Паскаля, мы можем быстрее возвести двучлен (a+b) в любую степень, не заучивая сложные формулы) - Ну что, ребята, интересен рассмотренный числовой треугольник Паскаля? А можно ли сказать, что в нём есть что-то магическое? И почему? А с какими магическими фигурами вы уже сталкивались? (Ответ: Мы знаем о существовании магических квадратов. Их так называют потому, что сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце одна и та же. То есть строки и столбцы этих квадратов обладают особым свойством. И треугольник Паскаля, как мы видим тоже обладает интересными свойствами, значит его тоже можно назвать магическим.) XII. Вот наш урок и подошёл к концу. И я предлагаю вам, ребята, выбрав начало фразы из рефлексивного экрана, оценить увлекательность и полезность нашего занятия. «Рефлексивный экран» Содержание: учащиеся по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске:
- Итак, ребята, посмотрите, сколько нового вы узнали о треугольниках. Но можем ли мы с уверенностью сказать, что мы уже всё знаем про треугольники? Или эта фигура хранит ещё какие-нибудь тайны? (Ответ) |
********************** Литература ************************
http://www. im-possible. infoРаздел Статьи: «Невозможные фигуры в реальном мире»;
Диего Урибе «Невозможные плитки»; «Невозможный треугольник» Раздел Программмы: imppuzzle. zip (96К) Фото с сайта http://www. Видеоролики на сайте http://www. :
Impossible Escher-style triangle found in real life!.mp4
The impossible triangle made possible. mp4
