ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДЛЯ АБИТУРИЕНТОВ, ПОСТУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 510200 МОП "ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА" |
|
- 1. Функции одной и нескольких вещественных переменных, непрерывность и дифференцируемость, производные по направлениям и дифференциал функции, формула Тейлора. 2. Экстремумы функций одной и нескольких переменных, необходимые условия экстремума, достаточные условия экстремума. Условный экстремум. 3а. Определенные интегралы от функций одной переменной, несобственные интегралы. 3б. Двойные интегралы. Поток векторного поля через поверхность. 4. Сходимость числовых и функциональных рядов. Степенные ряды, радиус сходимости. 5. Разложение периодических функций в ряды Фурье. Интеграл Фурье. 6а. Аналитические функции одной комплексной переменной, разложение в степенные ряды, изолированные особые точки. 6б. Элементарные функции в комплексной области. 7. Аналитические функции комплексной переменной. 8а. Аналитическая геометрия: прямые и кривые второго порядка на плоскости. 8б. Аналитическая геометрия: прямые, плоскости и поверхности второго порядка в пространстве. 9. Вещественные и комплексные линейные пространства, размерность, скалярное произведение. Линейные операторы, задание линейных операторов матрицами. 10. Системы линейных алгебраических уравнений с геометрической точки зрения, условия разрешимости. 11. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Случай самосопряженных операторов, общий случай. 12. Матрицы и действия над ними. Приведение матрицы линейного оператора к простейшему виду. 13. Обыкновенные дифференциальные уравнения, задача Коши. 14. Обыкновенные дифференциальные уравнения: системы линейныхуравнений с постоянными коэффициентами, линейные уравнения с переменными коэффициентами. 15. Особые точки и предельные циклы системы двух дифференциальных уравнений, устойчивость особых точек. 16. Простейшая задача вариационного исчисления, условия экстремума. 17. Уравнение теплопроводности и волновое уравнение. Постановка краевых задач, свойства решений (для одной пространственной переменной). 18. Уравнение Лапласа. Постановка краевых задач, свойства решений. 19. Случайные величины, непрерывные и дискретные распределения. Числовые характеристики случайных величин. 20. Предельные теоремы теории вероятностей. 21. Численное дифференцирование и интегрирование для функций одной переменной. 22. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. 23. Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. 24. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Подготовительные задачи (дают представление о стиле и уровне трудности задач устного экзамена)
1. Вычислите значения следующих частных производных функции f(x, y) = sin(x2 + y2) при x = y = 0:
2. Функция lnx на участке 1 ≤ x ≤ 1.5 приближенно заменяется многочленом P(x) = -0.5x2 + 2x - 1.5 ( = (x - 1) - (x - 1)2 / 2).
Оцените сверху допускаемую при этом ошибку. Нельзя ли указать многочлен 2 степени, дающий меньшую ошибку?
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f(x, y) = 2x + y на линии x2 + y2 - 2y = 0.
4. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f(x, y) = x + y на линии x4 + 8x4 = 1.
5. Найдите все (локальные) максимумы функции
f(x, y) = -3x4 + y4 + 3x - 2y2.
6. Оцените сверху величины интегралов:
а)
б)
7. Компоненты векторного поля (u, v, w) в прямоугольной системе координат заданы формулами u = x2 + 2y2, v = 2z2, w = - xz. Найдите поток этого векторного поля через поверхность куба -1 ≤ x, y, z ≤ 1.
8. Разложите в степенной ряд в окрестности точки z0 = 1 функцию
f(z) = z / (z + 1)
9. Вычмслите интеграл от функции комплексного переменного f(z) = z / (4z2 + 1) по контуру квадрата со стороной длины 2 и центром в точке z = 0.
10. Выберите среди прямых L1, L2, L3 ту, расстояние которой до точки (1, 1) наименьшее:
L1: x + y - 1 = 0; L2: 3x + 4y - 5 = 0; L3: 2x + y - 2 = 0.
11. Поверхность x2 + 4y2 - z2 = 1 пересечена плоскостью x = y. Какая линия получается в сечении?
12. В линейном пространстве вещественных тригонометрических многочленов вида P(x) = A + Bcos(x) + Csin(x) введено скалярное произведение по формуле:
а) Найдите угол между векторами P и Q, где P(x) = sin(x - р / 4), Q(x) = cos(x - р / 4). б) Постройте ортогональный базис, содержащий вектор e1:
e1(x) = 1 + cos(x).
13. Нарисуйте эскиз фазового портрета системы
x’ = y, y’ = - ay + sin(x); a ≥ 0.
14. Функция u(x, t) удовлетворяет уравнению u''tt = 4u''xx. Известно, что u’t(x, 0) = f(x), u(x, 0) = 0. Нарисуйте график u(x, 5).
15. Гармоническая функция u(x, y) принимает на сторонах квадрата |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 следующие значения:
u(x, 1) = u(x, -1) = x2 - 1, u(1, y) = u(-1, y) - 1 - y2. Найдите эту функцию. (Гармонические функции - решение уравнения Лапласа).
16. Функция v(x, y, z) - гармоническая в шаровом слое 1 ≤ R ≤ 4 (R2 = x2 + y2 + z2). Известно, чт на сфере R = 1 v = 3, на сфере R = 4 v = 3/2.
Найдите v(x, y, z).
17. Играющие в лотерею наугад вычеркивают один из 20 номеров (1, 2, ..., 20). Оцените вероятность того, что из 10 тысяч играющих менее 400 вычеркнут номер 12.
18. Опишите алгоритм для приближенного вычисления интеграла с ошибкой не более e.
Дополнительные задачи.
19. Самосопряженный оператор A в R3 (с обычным скалярным произведением) переводит вектор (1, 1, 2) в (2, 2, 4), а вектор (2, -2, 0) в
вектор (6, -6, 0). Может ли быть A(1, 1, 1) = (0, 0, 0)?
20. Исследуйте поведение функции f(z), заданной следующим степенным рядом а) на вещественной оси; б) на комплексной плоскости:
21. Докажите, что матрицы А и В коммутируют (АВ = ВА):
