Обратная функция (стр. 2 )

Функция числу из промежутка ставит в соответствие корень квадратный из этого числа, например, . Функция является обратимой, поскольку разным значениям ее аргумента соответствуют разные значения функции.

Обратная функция определена на промежутке   и произвольному числу ставит в соответствие число , которое определяется условием , то есть равенством (рис.4). Выражаем из этого равенства , возведя обе части равенства в квадрат, . Таким образом, функция произвольному числу ставит в соответствие число , равное . Значит, для каждого имеем , то есть  .

Независимой переменной, то есть аргументом обратной функции , является переменная , а зависимой -  переменная . То есть, в сравнении с функцией , переменные поменялись ролями. Если теперь переменные обозначить традиционным образом, а именно, буквой х - аргумент функции , а зависимую переменную – буквой , то функция   примет вид . Таким образом, мы нашли, что квадратичная функция , заданная на отрезке , является обратной к функции .. Множество значений обратной функции - отрезок .

График обратной функции мы можем изобразить в той же системе координат, что и график . Для этого отрезок , составляющий область определения функции нужно отложить на оси ординат, поскольку  на этой оси располагаются значения аргумента функции. Точки графика функции имеют координаты , при этом (рис.5).

На рисунке 5 показано, что области определения и множества значений функций «меняются местами»: и .

Пример 1. Показать, что линейная функция обратима. Найти обратную к ней функцию.

Функция принимает каждое свое значение только при одном значении аргумента, поскольку линейное уравнениеимеет только один корень (рис.6). Значит, эта функция имеет обратную функцию , которая  определена на , так как -  множеством значений функции   (рис.7). Обратная функция произвольному числу ставит в соответствие число , которое определяется условием (рис.7). Выразив из этого равенства , получаем . Значит, для каждого имеем , то есть  .