Обратная функция (стр. 1 )

Обратная функция

Рассмотрим две функции, и , графики которых изображены, соответственно, на рисунках 1 и 2. Функция обладает следующим свойством: каждое свое значение функция принимает только при одном значении аргумента. То есть, если , то уравнение имеет единственное решение . В геометрической интерпретации это означает, что параллельная оси абсцисс прямая  пересекает график функции ровно в одной точке.

Определение 1. Если функция каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то эта функция называется обратимой. Иначе можно сказать, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции .

Функция таким свойством не обладает. Например, отмеченное на рисунке 2 значение функции принимается при разных значениях аргумента, и , то есть и . Другими словами, уравнение имеет при данном значении   два корня. Прямая,  параллельная оси абсцисс, может пересечь график этой функции более чем в одной точке.

Свойство функции принимать  каждое свое значение только при одном значении аргумента, то есть быть обратимой,  позволяет определить новую функцию. А именно функцию, которая ставит в соответствие значению   то  единственное значение  , при котором . То есть ставит числу в соответствие единственный  корень уравнения . Назовем эту функцию обратной к функции и обозначим буквой . Таким образом, .

Отметим, что в отличие от функции , для функции задать таким же способом обратную функцию не удастся, поскольку уравнение может иметь несколько корней. Дадим определение обратной фукции.

Определение 2. Пусть задана обратимая функция . Функция , определенная на множестве , и ставящая в соответствие числу число ), такое, что , называется обратной к функции .

Найдем обратную функцию к  функции . Область определения функции , отрезок , обозначим буквой , то есть . Множество значений функции составляет отрезок , обозначенный буквой , то есть