Таким образом, мы доказали, что точка плоскости, симметричная точке графика функции относительно прямой , принадлежат графику обратной функции . Аналогично доказывается, что верно и обратное утверждение: точка, симметричная точке графика обратной функции относительно прямой , принадлежат графику функции . Значит, графики этих функций симметричны. Теорема доказана.

Пример 2. Докажите, что  функция является обратимой. Найдите обратную к ней  функцию.

Решение. Построим график заданной функции – часть параболы (рис.10), которая удовлетворяет условию .

Заданная функции является возрастающей а, следовательно, и обратимой. Для нахождения обратной к ней функции нужно из уравнения выразить х через у, а затем ввести новые обозначения  переменных.

Запишем уравнение в виде . Это квадратное уравнение относительно неизвестного , свободный член уравнения равен . Найдем  дискриминант квадратного уравнения , . По формуле корней квадратного уравнения имеем или, после упрощения . Итак при любом допустимом значении квадратное уравнение имеет два корня   и . Учитывая, что область определения заданной функции - промежуток, получаем .

Переобозначив переменные, то есть поменяв их местами, получаем  формулу обратной функции .

Замечание. Фактически мы доказали, что  если рассматривать функцию на промежутке, то на этом промежутке она является обратимой, поскольку возрастает. При этом, функция не обратима, если она рассматривается на (рис.10). На промежутке, функция убывает, а значит обратима.

Графики рассмотренной в примере функции и обратной к ней изображены на рисунке 15. Следует отметить тот факт, что  они пересекаются в точке, принадлежащей прямой . Это не случайно. Действительно, пусть график обратимой функции имеет общую с прямой точку . Тогда, точка, симметричная точке относительно этой прямой, принадлежит графику обратной функции .Но этой точкой является сама точка . Значит, она принадлежит обоим графикам одновременно, то есть является их точкой пересечения.

Упражнения

Укажите, на каких рисунках изображены графики  обратимых функций.

Ответ. 4;6

Функции имеет два нуля. Почему она не имеет обратной функции? На рисунке изображен график функции . Докажите,

что она не имеет обратной функции. Определите числовой промежуток на оси ординат, такой, что новая функция – обратима. Укажите несколько возможных вариантов .

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5