Техника преобразование алгебраических выражений.
№1. Определить сумму остатков при делении числа 2151063477 на 2. 3, 4, 5, 9, 10 и 25.
Поскольку число нечётное, то остаток при делении на 2 равен 1. Условие делимости на 3: сумма цифр десятичного представления натурального числа должна быть кратна 3.В данном числе при рассмотрении суммы цифр отбросим сразу те, которые явно делятся на 3: (1+2) делится на 3, (5+1+0) делится на 3, 6 делится на 3, 3 делится на 3. Осталось 4+7+7=18. 18 делится на 3, т. е. 2151063477 делится на 3 без остатка.
Аналогично формулируется условие делимости на 9. Здесь рассуждения аналогичны. 2+1+5+1+0+6+3+4+7+7=9+9+18=36. 36 делится на 9, т. е. 2151063477 делится на 9 без остатка. Чтобы число делилось на 5, его десятичная запись должна оканчиваться на 5 или на 0. 2151063477 оканчивается на 7, т. е. остаток при делении на 5 будет равен 2. Чтобы число делилось на 10, оно в десятичной записи должно оканчиваться на 0. 2151063477 оканчивается на 7, т. е. остаток при делении на 10 будет равен 7. Чтобы число делилось на 25, оно должно оканчиваться на 00, на 25, на 50 или на 75. 2151063477 оканчивается на 77, т. е. остаток при делении на 25 будет равен 2. Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры в его десятичном представлении образуют число, делящееся на 4. Это следует из развернутой записи десятичного представления натуральных чисел: слагаемые, соответствующие сотням, тысячам и последующим степеням десятки, делятся на четыре. 2151063477 оканчивается на 77. Значит, остаток при делении 2151063477 на 4 равен 1.Сумма остатков: 1+0+0+2+7+2+1=13.
Ответ: 13.
№2. Найти отношение НОК/НОД двух натуральных чисел 12600 и 8820.
Общее кратное двух натуральных чисел – это натуральное число, которое делится на оба данных натуральных числа. Оно всегда существует, например, произведение исходных двух чисел. Интерес представляет наименьшее общее кратное.
Общий делитель двух натуральных чисел – это натуральное число, которое делит оба данных натуральных числа. Общий делитель также всегда существует, например таковым является единица. Интерес представляет наибольший общий делитель.
Для того, что бы найти НОД и НОК, необходимо разложить оба числа на простыемножители:
12600 | 2
6300 | 2
3150 | 2
1575 | 3
525 | 3
175 | 5
35 | 5
7 | 7
1 |
Здесь справа простые делители, а слева результат, т. е. сначала 12600 делится на 2 и получается 6300, потом 6300 делится на 2 и получается 3150 и так далее.
Аналогично и для 8820.
Теперь запишем данные нам числа в виде произведения их простых делителей:
НОК должно делиться на оба числа, т. е. оно содержит наибольшие степени простых делителей обоих чисел:
НОД должен делить оба числа без остатка, т. е. он содержит наименьшие степени простых делителей обоих чисел:
Ответ: 70
№3. Вычислить.
1 шаг.
Вместо радикалов запишем рациональные степени, а числа под ними представим в виде произведений простых множителей.
2 шаг.
Вынести общий множитель. Выносим множитель меньшей степени.
Ответ: 
Замечание.
Надо быть аккуратней с радикалами, содержащими чётную степень, например, 
, т. к. x может быть и отрицательным. Тогда следует писать модуль при избавлении от корня.
В общем случае 
.
№4. Сравнить числа.
и 
, 
.
Действительные числа состоят из рациональных и иррациональных чисел.
Рациональные числа имеют вид: m/n, где m – целое, а n – натуральное.
А иррациональные числа – это числа, являющиеся бесконечными, непериодическими десятичными дробями.
В большинстве задач хватает приближённых значений следующих иррациональных чисел:
;
;
.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, для чего умножим и разделим число a на число, сопряжённое к знаменателю:
.
Аналогично, 
.
Предположим, что b>a. Проверим это, используя тождественные преобразования.
. Числовое равенство либо неравенство может быть истинным либо ложным. Два числовых выражения принято называть равносильными или эквивалентными, если они одновременно истинны либо ложны. Возведение обеих частей равенства в четную степень сохраняет равносильность, если обе части этого равенства одного знака. Для сохранения равносильности неравенств необходимо выполнение более жесткого условия: обе части должны быть неотрицательны.
В данном неравенстве проблемы не возникнут, т. к. здесь b>0 и a>0. Возведём обе части неравенства в квадрат:
.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому после возведения в квадрат получим равносильное неравенство.
Слагаемые желательно переносить так, чтобы доминировал знак +. Здесь вновь обе части неравенства положительны, поэтому возведение в квадрат не нарушит равносильность.
Итоговое неравенство истинно. Поскольку все преобразования неравенств сохраняли равносильность, то предположение b>a доказано.
Ответ: b>a.
№5. Представить периодическую дробь 
в виде отношения целых чисел.
Обозначим данное число через 
. Предположим, что x неизвестная величина. Составим для ее определения уравнение так, чтобы в нем не было чисел с периодами. Для этого сдвинем в заданном числе запятую на длину периода. Тогда получим 
. Вычтем из этого уравнения значение x. Получим:
Поделив на 99 и передвинув запятую на две позиции вправо путём умножения и деления правой части на 100, получим ответ: 
.
Ответ: 
.
№6. Вычислить натуральное число 
.
Небольшое отступление.
, но это не точно. Мы примерно прикинули. Проверим:
, что и доказывает нашу правоту.
.
Теперь надо избавиться от радикалов. Вообще говоря, есть два способа избавления от корней:
1-й способ.
Возведём обе части в квадрат и получим, вообще говоря, следствие, то есть задачу с возможно лишними решениями:
, причём один из корней лишний.
Так как 
, то 
, то есть 
.
2 –й способ.
Отступление.
Часто в подобной ситуации можно под корнем найти полный квадрат.
Как правило, u и v можно легко угадать.
Будем угадывать.
:
не подходит.
:
16+50=66 > 
не подходит.
:
32+25=57. Мы нашли нужную пару чисел. Вернёмся к задаче.
Определим знак первого модуля.
, т. е. 
.
.
Ответ: -10.
№7. (См. предыдущие техники для решения этого номера).
.
И так далее.
№8.
Дано: 
.
Найти: 
.
Если даны сопряжённые величины, то из полезно перемножить.
Уравнение можно умножить на функцию, если она не сужает область допустимых значений уравнения и при этом на ОДЗ не принимает нулевые значения. Сумма корней квадратных может быть нулевой только при нулевых значениях всех подкоренных выражений. В данном примере это невозможно.
Ответ: 
.
№9. Упростить.
Пусть 
. Тогда:
Ответ: 
.
№10. Упростить выражение 
.
Степень, ближайшую к нулю, рекомендуется переобозначить. Пусть 
. Тогда
Ответ: 
.
№11. Упростить. (Представлены основные идеи для решения.)
1-й способ. Представить степень 1/5 как 2/10.
Т. к. 
, то под первой дробью стоит отрицательное число. Значит, надо вынести минус.
2-й способ. Увидеть полный квадрат.
: 
: 
12
. Мы нашли нужную нам пару чисел.
Рекомендации к решению №13.
Обозначить меньшую степень числа 13 через t. Радикалы записывать в виде степени.
