2.10. Кривые второго порядка (стр. 2 )

Решим систему уравнений относительно и :

       

       

Так как , тогда , , , тогда .

Таким образом, искомое уравнение эллипса принимает вид

или

Пример 34. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса .

Решение. Левый фокус эллипса - . Найдем с из условия (2.45), зная, что , :

, , .

Значит левый фокус эллипса  .

Нижняя вершина эллипса . По условию , поэтому . Пользуясь уравнением (60), составим уравнение искомой прямой

, , или .

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами.

Поместив фокусы гиперболы в точках (правый фокус) и (левый фокус) и расположив оси координат по отношению к гиперболе так, как на рисунке, получаем простейшее (каноническое) уравнение гиперболы в виде

                               (76)

где а, b и с связаны соотношением

.                                (77)

Гипербола состоит из двух ветвей и расположена симметрично относительно осей координат. Точки и называются вершинами гиперболы. Отрезок называют вещественной осью гиперболы, а отрезок - мнимой осью. Ось, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью.

Определение. Прямая называется асимптотой гиперболы, если расстояние точки гиперболы от этой прямой стремится к нулю при или . Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

.                                (78)

Для построения асимптот гиперболы строят осевой (основной) прямоугольник гиперболы со сторонами , , , . Прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника, являются асимптотами гиперболы. Точка называется центром гиперболы.

Форма гиперболы характеризуется его эксцентриситетом (так как , то ). Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник и наоборот. Гипербола называется равносторонней (равнобочной), если ее полуоси равны (а=b). Её каноническое уравнение

                               (79)

Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения , следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен .

Уравнение

               (80)

также является уравнением гиперболы, но вещественной осью этой гиперболы служит отрезок оси Оу длины 2b. Две гиперболы и имеют одни и те же полуоси и одни и те же асимптоты, но вещественная ось одной служит мнимой осью другой, и наоборот. Такие две гиперболы называются сопряженными. Итак, общее уравнение кривой второго порядка (71) может быть уравнением гиперболы, если коэффициенты А и С разных знаков, а В=0.

Пример 35. Составить уравнение гиперболы, проходящей через точку , если асимптоты гиперболы имеют уравнения . Построить гиперболу.

Решение. Так как гипербола проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют уравнению (76)

, , .

Уравнения асимптот имеют вид (78), а по условию задачи , приравнивая правые части этих уравнений, получаем:

, , .

Таким образом, получили систему уравнений:

       

, , .

Так как , тогда  , , , значит , , .