2.10. Кривые второго порядка (стр. 4 )

Решение. Прямая проходит через начало координат , так как является биссектрисой  I и II координатных углов. Искомая парабола симметрична относительно оси Ох, поэтому уравнение параболы может иметь вид   или . Рассмотрим каждый из этих случаев. Если , то вторая точка пересечения прямой с параболой  , , значит и , то есть точка . Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками и : , , , тогда , а значит искомое уравнение параболы  .

Рассмотрим второй случай, когда уравнение параболы имеет вид . Найдем точки пересечения параболы и данной прямой.

, , , , . Получили две точки и .

Далее, рассуждая аналогично первому случаю, получаем: , , . Тогда искомое уравнение параболы .

Таким образом, условиям задачи удовлетворяют два уравнения параболы: и .

Можно сделать вывод, что общее уравнение  кривой второго порядка (81) может быть уравнением параболы, если коэффициенты , или , , то есть одна из переменных должна быть в первой степени.

Но не всякое уравнение вида (81) определяет кривую второго порядка. Например, не существует точек плоскости, удовлетворяющих уравнению .

2.10.1. Задачи для самостоятельного решения.

1. Дана точка . Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок ОА.

2. Составить уравнение окружности, проходящей через точки и , если ее центр лежит на прямой .

3. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и . Составить уравнение эллипса и найти расстояния точки М от фокусов.

4. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки и . Составить уравнение эллипса и найти эксцентриситет. Построить эллипс.

5. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса .

6. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и фокусы совпадают с фокусами эллипса . Построить гиперболу.

7. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

8. Парабола отсекает от прямой, проходящей через начало координат, хорду, равную . Составить уравнение этой прямой.

9. Используя параллельный перенос осей координат, приведите уравнения к каноническому виду; постройте кривые:

а) ;

б) ;

в);

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м) .

10. Дайте геометрическую иллюстрацию системы неравенств:

а)	б)
в)	г)
д)	е)

Ответы. 1. . 2. .

3. ; . 4. . 5. . 6. .  7. . 8. . 9. а) , ;

б), ; в); г), ;

д) ,; е) , ; ж) точка (2;1);

з) (мнимый эллипс), и) (пара пересекающихся прямых), ; к) , ; л) прямые ,; м) ∅ (мнимые прямые).