2.10. Кривые второго порядка (стр. 1 )

2.10. Кривые второго порядка

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат

.                 (71)

Коэффициенты уравнения - действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются кривыми второго порядка.

Установим, при каких условиях уравнение (71) определяет окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

Определение. Окружность называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра).

Если R - радиус окружности, а точка - ее центр, то уравнение окружности имеет вид:

  .                         (72)

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то последнее уравнение имеет вид:

                                (73)

Уравнение окружности (72) после несложных преобразований примет вид . При сравнении этого уравнения с общим уравнением (71) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия:

коэффициенты при и равны между собой (А=С); отсутствует член, содержащий произведение ху текущих координат, то есть В=0.

Пример 31. Найти координаты центра и радиус окружности .

Решение. Разделим данное уравнение на 2: или .

Дополним и до полных квадратов:

,

.

Тогда данное уравнение примет вид: , или . Таким образом, координаты центра окружности , и радиус окружности .

Пример 32. Составить уравнение окружности, проходящей через точки , , .

Решение. Для составления уравнения окружности найдем координаты центра и радиус окружности. По условию искомая окружность проходит через три данные точки, поэтому в уравнение (2.42) подставим поочередно координаты этих точек вместо х и у:

:                ,

:        ,

:        .

Получили три уравнения с тремя неизвестными. Для нахождения этих неизвестных решим систему уравнений:

       

Так как правые части всех уравнений равны, приравниваем левые так, чтобы получить два уравнения с двумя неизвестными

       

Умножим второе уравнение на 3 и прибавим к первому, получим ,

Тогда , . Значит центром окружности является точка . Подставив найденные координаты центра в любое из уравнений (например, второе) первой системы найдем :

, значит . Таким образом, уравнение искомой окружности имеет вид: .

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (ее обозначают обычно через 2а), причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как на рисунке, а фокусы эллипса находятся на оси Ох на равных расстояниях от начала координат в точках и , то уравнение эллипса принимает простейший (так называемый канонический) вид

.                                 (74)

Здесь а - большая, b - малая полуоси эллипса, причем а, b и с (с - половина расстояния между фокусами) связаны соотношением

                                (75)

Точки пересечения эллипса с осями координат , , и называются вершинами эллипса, точка - центром эллипса, а оси координат - осями симметрии эллипса, ось на которой расположены фокусы, - фокальной осью. называется правым фокусом, а - левым.

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом (так как , то ): чем меньше эксцентриситет, тем меньше его малая полуось b отличается от большой полуоси а, то есть тем меньше вытянут эллипс вдоль фокальной оси. Если положить (а это значит, что с=0, b=a), то эллипс превращается в окружность. Таким образом, общее уравнение кривой второго порядка (71) может быть уравнением эллипса, если коэффициенты А и С одного знака, а В=0.

Пример 33. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точку и имеет эксцентриситет . Составить уравнение эллипса.

Решение. Так как эллипс проходит через точку , то координаты этой точки удовлетворяют уравнению (74) или . Эксцентриситет эллипса , а по условию , поэтому , , . Используя равенство (75), получаем , , .