2.10. Кривые второго порядка (стр. 3 )

Таким образом, искомое уравнение гиперболы имеет вид .

Для построения гиперболы, построим основной прямоугольник, стороны которого задаются уравнениями , , то есть , .

Уравнения асимптот гиперболы даны по условию . Вершины гиперболы , . Точки и : и . Найдем координаты фокусов, пользуясь соотношением (2.47) . Значит левый фокус гиперболы , а правый - .

Используя полученные результаты, выполним построения.

Пример 36. Через точку и правую вершину гиперболы проведена прямая. Найти вторую точку пересечения прямой с гиперболой.

Решение. Преобразуем данное уравнение гиперболы к виду (76):

,        .

Правая вершина гиперболы . По условию , поэтому , значит .

Найдем уравнение данной прямой, пользуясь уравнением прямой, проходящей через две точки (2.30).

,        ,        ,        ,

то есть уравнение прямой .

Для нахождения второй точки пересечения прямой с гиперболой, решим систему уравнений

               

, ,

, .

Найдем вторые координаты        , , , .

Таким образом получили две точки: и . Но точка  совпадает с правой вершиной гиперболы , поэтому искомой точкой является  .

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости каждая, из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через .

Если выбрать систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе  в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположить посередине между фокусом и директрисой, причем фокус F имеет координаты , уравнение директрисы - или , то уравнение параболы будет иметь вид

.                                (81)

Уравнение (81) называется каноническим уравнением параболы.

В выбранной системе координат ось Ох является осью симметрии параболы.

Так как , то уравнение (81) имеет смысл при , следовательно,  парабола расположена справа от оси Оу.

При имеем . Следовательно,  парабола проходит через начало координат. Точка называется вершиной параболы.

При другом выборе системы координат получаются канонические уравнения другого вида

,                        (82)

,                         (83)

, .                        (84)

Пример 37. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью Ох.

Решение. Найдем точку пересечения данной прямой с осью Ох, координаты которой являются координатами фокуса F искомой параболы. На оси Ох любая точка имеет ординату , поэтому из уравнения прямой при этом условии найдем х: , , .

Значит фокус параболы , тогда , . Так как фокус расположен справа от начала координат, тогда искомое уравнение параболы  будет иметь вид (81):

или .

Пример 38.  Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Ох и отсекающей от прямой   хорду длиной .