КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ДИФФЕЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Для работы над теоретическим материалом рекомендуется ответить письменно на вопросы, размещенные перед контрольной работой, и внимательно рассмотреть образцы решений типовых задач.
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ КОНСПЕКТИРОВАНИЯ
1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Понятие функции двух переменных. Область определения. Предел и непрерывность. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков. Формула Тэйлора. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций одной и двух переменных. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточное условия экстремума. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.2. Элементы теории поля
Понятие скалярного поля. Линии и поверхности уровня. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.3. Кратные интегралы
Определение и геометрический смысл двойного интеграла. Основные свойства двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Вычисление площади плоской фигуры и объема тела с помощью двойного интеграла. Определение и геометрический смысл тройного интеграла. Основные свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовых и цилиндрических координатах.4. Криволинейные интегралы
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Дана функция 
. Показать, что выполняется равенство:
.
∇ Функция 
– функция двух независимых переменных х и у. При определении частной производной функции z по независимой переменной х вторая независимая переменная y рассматривается как величина постоянная. Поэтому частные производные находим по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной. Этот принцип сохраняется и при повторном дифференцировании.
Найдём частные производные:
Проверим выполнение равенства из условия задачи:
#
Пример 2. Вычислить приближённое значение выражения: 
.
∇ Для ответа на поставленный вопрос рассмотрим функцию 
. При малых приращениях независимых переменных вычисление приращения функции заменяют вычислением её дифференциала:
Формула для вычисления приближённого значения функции имеет вид:
.
Имеем 
.
Выберем 
, 
, тогда 
;
;
.
; 
.
Поэтому 
#
Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности 
в точке, соответствующей 
∇ Если поверхность задана уравнением 
, разрешённым относительно z (т. е. в явном виде), а точка касания М имеет координаты 
, то уравнение касательной плоскости записывается так:
.
Если поверхность определена уравнением 
(т. е. поверхность задана в неявном виде), а точка касания М имеет координаты 
, то касательная плоскость определяется уравнением:
.
В нашем случае уравнение поверхности разрешено относительно z, то есть поверхность задана в явном виде. Прежде всего, найдём аппликату точки касания: 
. Итак, точка касания имеет координаты М (1; 1; 4).
Вычислим значения частных производных в точке касания:
Тогда уравнение касательной плоскости примет вид:
. #
Пример 4. Найти экстремум функции 
.
∇ Функция 
– функция двух независимых переменных. Найдём стационарные точки функции, то есть точки, для которых выполняется необходимое условие экстремума: 
.
; 
.
Решаем систему 
, которая в нашем случае запишется так:
Сокращаем на 6 и, выполняя подстановку 
, получаем:
, 
.
Корни этого уравнения 
. Учитывая подстановку, находим соответствующие значения у:
.
Получили две стационарные точки (0; 0) и (6; 6). Чтобы выяснить, будут ли найденные точки являться точками экстремума, проверим выполнение достаточного условия экстремума. Для этого вычислим значения вторых частных производных в этих точках:
;
;
.
Для первой точки (0; 0) имеем:
;
;
.
Составим 
; 
.
Так как 
, то при 
функция экстремума не имеет.
Для второй точки (6; 6) имеем:
;
;
.
.
Так как 
, то при 
функция имеет экстремум.
Характер экстремума определяем по знаку А. Так как А = 72 > 0, то при 
функция имеет минимум.
. #
Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в замкнутой области D, заданной системой неравенств:
.
∇ Функция z непрерывна в замкнутой области D. Значит, она достигает в этой области своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения достигаются либо в стационарных точках внутри области, либо на границе этой области.
Для решения построим область D на плоскости: 
- парабола ;
у = 0 – ось ОХ (рис.1).
Найдём стационарные точки (точки, в которых обе частные производные обращаются в нуль).
,
.
Решаем систему уравнений 
, и находим, что 
.
Итак, имеется одна стационарная точка (0; 0), лежащая на границе области D. Значение функции в этой точке 
.
Переходим к исследованию границы области D. Граница области D включает в себя отрезок АВ и дугу 
. На отрезке 
: 
, и функция z принимает вид:
, 
.
Так как на этом отрезке функция z непрерывна, то она принимает на нём как наибольшее, так и наименьшее значения (см. пример № 14 к контрольной работе №2).
; 
критическая точка (0; 0)
Значение функции в этой точке вычислено выше.
Значения функции на концах отрезка:
;
.
На участке дуги параболы 
: 
функция z принимают вид:
, 
.
.
Находим критические точки:
, 
Соответствующие значения у следующие: 
, 
.
Находим значения функции в этих точках 
, 
. Значения функции на концах отрезка 
, 
просчитаны выше.
Сравнивая полученные результаты, имеем: наибольшее значение функции: 
, наименьшее значение функции: 
. #
Пример 6. Найти производную функции 
в точке 
в направлении вектора 
.
∇ Производная от функции 
по направлению вектора 
характеризует скорость изменения функции z по этому направлению. Эта производная вычисляется по формуле:
,
где 
- координаты единичного вектора данного направления.
,
.
Найдём единичный вектор 
вектора 
:
.
; 
,
т. е. 
, 
. Значит,
. #
Пример 7. Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля 
в точке 
.
∇ Наибольшую скорость изменения скалярного поля характеризует градиент поля. Скалярное поле изменяется с наибольшей скоростью в данной точке по направлению градиента:
.
Вычислим координаты градиента:
,
.
Таким образом, 
.
Величина наибольшей скорости изменения скалярного поля в точке А есть модуль градиента, вычисленный в этой точке:
. #
Пример 8. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной кривой 
∇ Введем полярные координаты на плоскости. Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки P, называемой полюсом, луча l, называемого полярной осью и единицы масштаба. Если выбрать декартову систему координат так, чтобы ее начало О совпадало с полюсом полярной системы P, а ось Ox шла по полярной оси l, то между полярными координатами (ρ, φ) и декартовыми координатами (x, y) каждой точки M будет осуществляться следующая связь:
. (1)
Чтобы перейти от уравнения заданной кривой 
в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно подставить в это уравнение вместо x, y их выражения из формул (1). Тогда полярное уравнение кривой примет вид:
.
Поскольку величина ρ - величина положительная, то угол φ может изменяться только в тех пределах, для которых 
, т. е. 
. Построим эту линию по точкам, задавая углу φ некоторые значения из этого промежутка. Для вычисления значений ρ составим таблицу:
φ |
|
|
|
| 0 |
|
|
|
|
cosφ | 0 |
|
|
| 1 |
|
|
| 0 |
ρ | 0 |
|
|
| 2 |
|
|
| 0 |
Чтобы построить кривую, проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям φ, и на каждом луче откладываем отрезки, равные вычисленным значениям полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной кривой.
Область D симметрична относительно полярной оси (рис.3), поэтому достаточно вычислить площадь верхней половины области D и результат удвоить.
Чтобы найти пределы интегрирования по переменной ρ, проводим координатные ρ - линии, т. е. линии, вдоль которых меняется только координата ρ, φ остается постоянной. Уравнение этих линий: φ = C. Это - система лучей, выходящих из полюса (см. рис.2). Точкой входа лучей в область D является полюс, где ρ = 0, следовательно, нижний предел интегрирования по ρ будет 0. Линией выхода лучей из области D является кривая 
, значит, верхним пределом интегрирования по ρ будет 
. Внешний интеграл по φ имеет всегда постоянные пределы. В нашем случае: от 0 до 
.
Для верхней половины области D имеем: 
Поэтому
. #
Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл 
от точки А(1;0) до точки В(0;2).
а) по прямой 
;
б) по дуге параболы 
;
в) по дуге эллипса 
Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла.
∇ а) Пользуясь данным уравнением линии, преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования х, затем вычислим его. Из уравнения прямой 
выразим у через х: 
, тогда 
, следовательно,
.#
∇ б) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования у, т. к. x выражается рационально через y. Заменяя в подынтегральном выражении
, 
и, учитывая, что y изменяется от 0 до 2, получим:
. #
∇ в) Преобразуем криволинейный интеграл в определенный интеграл с переменной интегрирования t, а затем вычислим его.
⇒ 
Чтобы найти пределы интегрирования, выразим t через x и подставим численные значения x: 
,
. Таким образом,
. #
