КР-1 Линейная алгебра. Векторы

Задание 1. Вычислить определитель :

1. применив правило треугольника

2. разложив определитель по элементам первой строки

3. используя свойства определителя

Решение:

1. применив правило треугольника

2. разложив определитель по элементам первой строки

3. используя свойства определителя

Использовались свойства определителей п-го порядка:

    Если в определителе поменять местами две строки (столбца), то абсолютная величина определителя не изменится, а знак поменяется на противоположный. Определитель не изменится, если к одной из строк (столбцов) прибавить другую строку (столбец), умноженную на число k (ко второй строке прибавили первую, умноженную на -2, а к третьей прибавили первую, умноженную на -4) Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения (теорема разложения).


Задание 2. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему

1) по формулам Крамера

2) матричным методом 

3) методом Гаусса

Решение:

1) по формулам Крамера

 

 

 

Ответ:

2) матричным способом:

Система уравнений в матричном виде:

Найдем обратную матрицу к матрице А:

   

 

Тогда решением данной системы будет:

  Ответ:

3) методом Гаусса:

 

  Ответ:

Задание 3. На векторах построена треугольная пирамида .

,

,

.

Требуется найти:

длины ребер , ,; величину угла ; площадь ; высоту треугольника , опущенную из вершины ; объем пирамиды ; высоту пирамиды , опущенную из вершины ; радиус–вектор (– точка пересечения медиан ); единичный вектор , имеющий направление вектора ; проекцию вектора на направление вектора .

,

,

.

Решение:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
длины ребер , ,

Длины ребер ОА, ОВ, ОС – это длины соответствующих векторов, которые вычисляются по формуле:


величину угла

угол АОС – это угол между векторами ОА и ОС, тогда


площадь

Площадь -  половина площади параллелограмма, построенного на векторах ОА и ОС.

Ответ:

высоту треугольника , опущенную из вершины

Высоту треугольника из формулы площади

Ответ:


объем пирамиды

Найдем объем пирамиды как одну шестую от модуля смешанного произведения векторов, на которых построена данная пирамида:

,

,

.

Ответ:


высоту пирамиды , опущенную из вершины

Высоту пирамиды найдем из формулы

Ответ:


радиус–вектор (– точка пересечения медиан )

Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, т. е. , используя свойства сложения и вычитания векторов (см. рис) получим:

Ответ:


единичный вектор , имеющий направление вектора

Единичный вектор находится по формуле:

Вектор АВ, найдем как разность векторов ОВ и ОА

Ответ: 

проекцию вектора на направление вектора

 

Ответ:

КР-2. Аналитическая геометрия на плоскости.

Задание 1. Даны вершины треугольника :

Найти:

длины сторон , AN, и периметр треугольника; уравнения сторон , AN и ; уравнение высоты , проведенной из вершины ; длину этой высоты; уравнения медиан и ; длины этих медиан; точку пересечения этих медиан; расстояние от точки  до стороны ; величину угла .

Решение:

Найдем длины сторон , AС, и периметр треугольника:


уравнение сторон АВ, АС и ВС:

   


уравнение высоты , проведенной из вершины

Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку В(-6;2) параллельно нормальному вектору прямой

АС

Получим:


длину этой высоты

Длину высоты найдем как расстояние от точки В до прямой АС


уравнения медиан и

Так как АМ и CN медианы, то т. М -  середина ВС, а т. N – середина АВ

Найдем координаты точек М и N:

Тогда уравнения медиан:

 

длины этих медиан

Длины медиан – это расстояние между точками А и М, C и N:


точку пересечения этих медиан

Точку пересечения медиан АМ и СN  найдем как точку пересечения уравнений этих медиан, решив для этого систему:


расстояние от точки  до стороны

Расстояние от точки до прямой АС найдем по формуле:

где  - координаты т. Р, A, B, C - коэффициенты уравнения прямой


величину угла

Угол А найдем по формуле тангенса острого угла между прямыми АВ и АС

Задание 2. Решить задачу. Сделать чертеж. Найти прямую, проходящую через точку и отсекающую равные отрезки на осях координат.

Решение:

Уравнение прямой в отрезках:

Т. к. прямая проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют уравнению

Следовательно,

Таким образом, прямая, проходящую через точку и отсекающую равные отрезки на осях координат имеет вид:

Ответ:

Задание 3. Составить канонические уравнения:

а) эллипса, фокусы которого расположены на оси , симметричного относительно начала координат; 

б) гиперболы, фокусы которой расположены на оси , симметричной относительно осей координат;

в) параболы, симметричной относительно координатной оси  ( или ), имеющей вершину в начале координат.

Решение:

а) Каноническое уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси , симметричного относительно начала координат имеет вид:    По условию 

Так как

Ответ: каноническое уравнение эллипса

б) Каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси , симметричной относительно осей координат имеет вид:   

По условию точки принадлежат гиперболе, тогда:

Ответ: каноническое уравнение гиперболы:

в) Каноническое уравнение параболы, симметричной относительно координатной оси, имеющей вершину в начале координат  и директрису  у = -1 (ось У – ось симметрии, расположена в верхней полуплоскости) имеет вид

По определению директриса:

Тогда

Ответ: каноническое уравнение параболы:

Задание 4. Составить уравнение линии, каждая точка М, которой отстоит от прямой х = -7 на расстоянии, в три раза меньшем, чем от точки А(3, 1).

Решение:

Пусть М(х, у)- любая точка искомой линии, а точка В - точка прямой

По условию,

Имеем:

Выделим полный квадрат:

  - это уравнение гиперболы с центром в точке

КР-3. Аналитическая геометрия в пространстве

Задание 1. Даны четыре точки ,, ,. Требуется:

составить уравнения прямых и ; найти угол между прямыми и ; составить уравнение плоскости ; найти расстояние от  точки до плоскости ; составить уравнение плоскости , где – середина , – середина ; найти угол между плоскостями и .

Решение:

составить уравнения прямых и

Составим уравнения данных прямых - как уравнения прямых проходящих через две точки:

 

найти угол между прямыми и

Угол между данными прямыми найдем как косинус угла между направляющими векторами данных прямых :

Ответ:

составить уравнение плоскости

Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки имеет вид:

Ответ: уравнение плоскости


найти расстояние от  точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:  ,

где  - координаты т. D,  A, B, C, D - коэффициенты уравнения плоскости

Ответ: расстояние от  точки  до плоскости  АВС  равно  2


составить уравнение плоскости , где – середина , – середина

Т. к. М и N – середины сторон АВ и АС, то найдем координаты этих точек:

Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки имеет вид:

Ответ: уравнение плоскости


найти угол между плоскостями и .

Угол между плоскостями найдем как косинус угла между их  векторами нормали

Ответ: угол между плоскостями ABC  и  DMN  равен