111 Об обобщении теоремы на несамосопряженные операторы (стр. 2 )

       Из проведенных рассуждений вытекает, что оператор разлагается в ортогональную сумму операторов и , где и , соответствующие разложению пространства в ортогональную сумму . Более того, по построению и не является собственным вектором оператора . Поэтому справедливы равенства , а отсюда, в свою очередь,

.        (8)

       Из (8) вытекает, что

,

и поэтому

.

Тем самым, вопрос о справедливости утверждения теоремы сводится к утверждению о сильной сходимости к нулю последовательности операторов или, иначе, сходимости к нулю сужений на подпространство итераций оператора .

       В дальнейшем нам понадобится некоторое специальное аддитивное представление нормальных операторов в гильбертовом пространстве. Следуя [5, 6] действующий в банаховом пространстве оператор будем называть корректным, если последовательность операторов сильно сходится к некоторому линейному оператору ; нетрудно видеть, что является коммутирующим с проектором пространства на подпространство неподвижных точек оператора . В случае, если оператор будем называть нуль-корректным.

       Лемма 2. Пусть – нормальный оператор. Тогда пространство раскладывается в ортогональную сумму двух инвариантных для подпространств таким образом, что сужение оператора является унитарным в оператором, а сужение оператора на подпространство является нуль-корректным оператором.

       Для доказательства рассмотрим полярное представление оператора и применим к оператору лемму . Иными словами, построим подпространства и . Нетрудно видеть, что , ортопроекторы и коммутируют с унитарным оператором и, тем самым, оператор оставляет инвариантным оба пространства и . Рассмотрим равенство

.        (9)

Это представление оператора является его ортогональным разложением. Оператор при этом очевидным образом является унитарным оператором в подпространстве . Так как из (9) следует , то оператор же при этом является нуль-корректным, так как при любом

;

Последнее равенство справедливо, например, в силу той же теоремы (оператор положительно определенный и самосопряженный и не имеющий собственным значением).

       Отметим также, что разложение (9) можно получить из спектрального разложения нормального оператора. Действительно, достаточно положить

;

здесь – единичная окружность, – как и ранее, единичный круг комплексной плоскости. Отметим, что из этих представлений также вытекает равенство ; достаточно заметить, что и воспользоваться леммой Б. Леви о предельном переходе под знаком интеграла для монотонных последовательностей.

       Лемма 3. Пусть – нормальный оператор. Тогда пространство раскладывается в ортогональную сумму трех инвариантных для подпространств , и таким образом, что сужение на является единичным оператором в , сужение на является унитарным оператором, сужение на – нуль-корректным оператором.