111 Об обобщении теоремы на несамосопряженные операторы (стр. 4 )

       Для операторов взвешенного сдвига (их детальный анализ см., например, [11; 12])

;

(здесь – ненулевая ограниченная последовательность комплексных чисел) ситуация является более сложной. Очевидно, что и откуда, как нетрудно видеть, вытекает, что оба оператора не являются нормальными. Несложный подсчет показывает, что неравенство

,        (10)

является необходимым и достаточным условием ограниченности последовательности норм итераций операторов и . Из (10) вытекает, что

.

Предположим, что

(случай, когда этот предел строго меньше здесь не представляет интереса). Повторяя рассуждения, проведенные для операторов правого сдвига, получаем, что оператор не является квазинормальным, при этом он является нуль-корректным в том и только том случае, когда справедливо неравенство (10). Аналогично, повторяя рассуждения, проведенные для оператора левого сдвига, получаем, что оператор не является нуль-корректным. Однако в случае, когда равны , он является квазинормальным.

       Заметим еще, что основная идея доказательства теорем 1–2 основана на том факте, что нормальные операторы обладают спектральным разложением. Естественно рассмотреть класс операторов, для которых такие спектральные разложения существуют. Наиболее широким известным классом операторов, для которых спектральное разложение существуют, являются введенные Н. Данфордом спектральные операторы; их теория детально изложена в монографии [13].

       4. Здесь мы приведем ещё один результат, относящийся к линейным операторам в банаховом пространстве (см. например, [14]), описывающий класс линейных операторов, для которых справедливо утверждение теоремы (ряд близких утверждений был установлен в [9; 10; 15]).

       Теорема 3. Пусть – непрерывный линейный оператор в банаховом пространстве , . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

оператор корректный; пространство разлагается в прямую сумму инвариантных для подпространств и ; последовательность норм ограничена, подпространства и замкнуты и их сумма плотна в ; для оператора справедливо утверждение теоремы .

Пусть – корректный оператор, т. е., для каждого существует предел . В силу теоремы Банаха-Штейнгауза, является непрерывным линейным оператором в пространстве . При каждом для любого можно указать такое , что при справедливо неравенство . Устремляя к бесконечности при фиксированном , получаем, что . Устремляя теперь к бесконечности , получаем, что , откуда, в силу произвольности , . Таким образом, оператор является проектором. Из равенств

,

,

вытекает, что . Иными словами, оператор коммутирует с и, более того, сужение на подпространство совпадает с единичным оператором. На подпространстве , также инвариантном для оператора , оператор равен нулю, т. е. на этом подпространстве оператор равен нулю, или, другими словами, . Но это означает, что сужение на оператора является нуль-корректным. Тем самым показано свойство . Обратное утверждение, что из вытекает очевидно.

       Для доказательства эквивалентности утверждений и , в силу снова теоремы Банаха-Штейнгауза, достаточно доказать, что подпространство замкнуто (замкнутость подпространства очевидна). Пусть последовательность сходится к некоторому . Тогда для любого и некотором достаточно большом справедливы неравенства

.

Далее, для этих и при больших . Тем самым, при таких , то есть, . Отметим, что подпространства и пересекаются по нулевому подпространству .