111 Об обобщении теоремы на несамосопряженные операторы (стр. 5 )

       Остается показать, что свойства и эквиваленты. Уравнение (1) при разрешимо. Поэтому, если для оператора справедливо утверждение теоремы Красносельского, то последовательные приближения (2) () должны сходится при любом начальном условии . При произвольном элемент является произвольным элементом пространства . Но это и означает, что последовательность операторов сильно сходится, т. е., что оператор корректен. Обратно, если оператор корректен и уравнение (1) разрешимо, то из равенства (3) вытекает, что последовательность сходится к или, что то же самое, последовательность сходится к . Остаётся заметить, что этот предел также является решением уравнения (1), так как, очевидно, .

Литература

// О решении методом последовательных приближений уравнений с самосопряженными операторами. Успехи математических наук, XV, вып. 3 (93), 1960. C. 161-165. , , // Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, Главная редакция физ.-матем. литературы, 1969. Секефальви- // Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. C. 587. // Линейные операторы. Спектральная теория. Мир, 1966. C. 1064. , , // Двадцатая проблема Гильберта. Обобщенные решения операторных уравнений. М. & Санкт-Петербург & Киев: Диалектика, 2009. C. 185. Klyushin D. A., Lyashko S. I., Nomirovskii D. A., Petunin Yu. I., Semenov V. V. // Generalized Solutions of Operator Equations and Extreme Elements. Springer, 2012, C. 1-202. Brown A. // On a class of operators. Proc. Amar. Math. Soc., 4. 1953. C. 723-728. // Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970. C. 352. // Об области сходимости метода последовательных приближений для линейных уравнений. Доклады АН БССР, 29, 1985, №3, C. 201-204. Zabrejko P. P // Error estimates for successive approximations and spectral properties of linear operators. Numerical Functional Analysis and Applications, 11, 1990, №7-8, C. 823-838. // Линейные функциональные уравнения. Операторный подход. М., Унив., 1988. C. 232. , // Спектральные свойства дискретного оператора взвешенного сдвига. Труды института математики НАН Беларуси, 20, 2012, №1, C. 14-21. // Линейные операторы. Спектральные операторы. Мир, 1974. C. 664. // Линейные операторы. Общая теория. М.: Изд. Иност. Литер., 1962. C. 896. Koliha J. J. // Power convergence and pseudoinverses of operators in Banach spaces. D. of M.. U. of M., 1974.

P. P. ZABREIKO, A. V. MIKHAILOV

*****@***ru; *****@***ru

ON M. A. KRASNOSEL’SKIўI THEOREM GENERALIZATION

FOR NON SELFADJOINT OPERATORS

Summary

The article deals with linear operators with the spectral radius in Hilbert and Banach spaces for which the successive approximations with an arbitrarily initial approximation converge to a solution of the equation (under condition that these solutions exist).

Реферат

УДК 517.983

, Об обобщении теоремы на несамосопряженные операторы // Докл. НАН Беларуси. 2014. Т. 00, №. 0. С. 00-00.

В статье изучаются действующие в гильбертовом и банаховых пространствах линейные операторы с единичным спектральным радиусом, для которых однако последовательные приближения сходятся при любом начальном приближении к одному из решений уравнения при условии, что такие решения существуют. Впервые теорема такого типа была доказана для самосопряженных операторов. В работе получены аналоги теоремы для нормальных и квазинормальных операторов и описаны необходимые и достаточные условия справедливости утверждения теоремы для операторов в банаховых пространствах. Рассмотрен ряд примеров.

Библиогр. — 15 назв.