111 Об обобщении теоремы на несамосопряженные операторы (стр. 3 )

       Для доказательства достаточно показать инвариантность для оператора подпространства и .

       Инвариантность подпространства очевидно. Инвариантность пространства следует из перестановочности и , если , , то , то есть, . Если, кроме того, и , то, в силу леммы 1,

.

       Лемма 3 позволяет описать класс нормальных корректных операторов.

       Лемма 4. Нормальный оператора является корректным в том и только том случае, когда .

       Из леммы 3 следует, что , и поэтому последовательные приближения при , можно записать в виде

.

Из леммы 3 следует существование пределов и , поэтому существование предела эквивалентно существованию предела .

       Оператор в подпространстве является унитарным, в частности, изометрическим. Если существует предел последовательности , то при . Но

;

отсюда . Таким образом, предел , а значит, и предел существует лишь в том случае, когда .

       Из леммы 3 также вытекает

       Теорема 1. Пусть нормальный оператор, , и пусть оператор является корректным. Пусть уравнение (1) имеет решение.

       Тогда последовательные приближения (2) при любом начальном условии сходятся к некоторому решению этого уравнения.

       Представляет интерес различные эквивалентные формулировки основного условия теоремы 1. Из проведенных выше рассуждений следует

       Теорема 2. Пусть нормальный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

унитарная часть оператора является ортопроектором; справедливо равенство , или, иначе, ; равенство влечет равенство ; равенство влечет равенство ; равенство влечет равенство ; спектральная мера единичной окружности без точки равна нулю: ; последовательность операторов сильно сходится.

2. Анализ вышеприведенных рассуждений показывает, что их основная часть основана на свойстве перестановочности операторов и в полярном представлении линейного оператора . Такие операторы изучались в [7]; в [8] эти операторы названы квазинормальными. Отметим [8], что сопряженный к квазинормальному оператору не обязательно является квазинормальным. Однако для квазинормальных операторов справедливо равенство (операторы, для которых справедливо последнее равенство, принято называть нормалоидными (см., например, [8; 9; 10])). Нетрудно видеть, что утверждение теоремы 2 сохраняется и для квазинормальных операторов; верна для них и часть утверждений теоремы 2.

3. Утверждения, установленные в предыдущих пунктах, для произвольных линейных операторов с (или даже ) не верны. В качестве примера рассмотрим в пространстве операторы правого и левого сдвига:

;

очевидно, что и . Оба оператора не являются нормальными. Оператор изометрический ( или, что то же самое, ) и для него предел существует только при . Так как , то он является квазинормальным. Второй оператор не квазинормален, однако он оказывается нуль-корректным – для него, очевидно, при любом предел существует и равен нулю.