Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ òîëüêî îäíîãî èç ñîáûòèé , , , áóäåì èñêàòü âåðîÿòíîñòü

òàê êàê ñîáûòèÿ , , íåñîâìåñòíû.

Ñîáûòèÿ  , , - íåçàâèñèìû   , , - íåçàâèñèìû.

Îáîçíà÷èì ,  ,  .

Òîãäà ,  ò. å.

(ïîÿâëåíèÿ òîëüêî îäíîãî ñîáûòèÿ ) =.˜

Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.


       Ïóñòü íåêîòîðîå ñîáûòèå ìîæåò ïðîèçîéòè  âìåñòå ñ îäíèì èç íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé , ñîñòàâëÿþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé. Ïóñòü èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè ýòèõ ñîáûòèé è óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ ïðè íàñòóïëåíèè ñîáûòèÿ :

.

       Òåîðåìà. Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ , êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè âìåñòå ñ îäíèì èç ñîáûòèé , ðàâíà ñóììå ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé âåðîÿòíîñòåé êàæäîãî èç ýòèõ ñîáûòèé íà ñîîòâåòñòâóþùèå èì óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ .

Ïðèìåð 5.  äâóõ ÿùèêàõ ñîäåðæàòñÿ ïî 20 äåòàëåé, ïðè÷åì â ïåðâîì 17 ñòàíäàðòíûõ  äåòàëåé, à âî âòîðîì 15 ñòàíäàðòíûõ äåòàëåé. Èç âòîðîãî ÿùèêà íàóäà÷ó èçâëå÷åíà îäíà äåòàëü è ïåðåëîæåíà â ïåðâûé ÿùèê. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íàóäà÷ó èçâëå÷åííàÿ äåòàëü èç ïåðâîãî ÿùèêà, îêàæåòñÿ ñòàíäàðòíîé.

⭕ Îïûò ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ýòàïà:  ïåðâûé - ïåðåêëàäûâàíèå äåòàëè, 

  âòîðîé -  âûáîð äåòàëè.

Ãèïîòåçû:

-  ïåðåëîæåíà ñòàíäàðòíàÿ äåòàëü;

  -  ïåðåëîæåíà íåñòàíäàðòíàÿ äåòàëü.

,  . 

,  .

. ˜ 

       

Ïðèìåð 6. Îäèí èç òðåõ ñòðåëêîâ ïðîèçâîäèò äâà âûñòðåëà. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè îäíîì âûñòðåëå äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà ðàâíà 0,4, äëÿ âòîðîãî – 0,6, äëÿ òðåòüåãî – 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â öåëü ïîïàäóò äâà ðàçà.

ÍÅ íàøëè? Íå òî? ×òî âû èùåòå?

❍

       Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûñòðåëû ïðîèçâîäèò ïåðâûé, âòîðîé èëè òðåòèé ñòðåëîê ðàâíà .

       Âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî îäèí èç ñòðåëêîâ, ïðîèçâîäÿùèõ âûñòðåëû, äâà ðàçà ïîïàäàåò â öåëü, ðàâíû:

       - äëÿ ïåðâîãî ñòðåëêà:

       - äëÿ âòîðîãî ñòðåëêà:

       - äëÿ òðåòüåãî ñòðåëêà:

       Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà:

. ˜

Ôîðìóëà Áàéåñà (ôîðìóëà ãèïîòåç)


       Ïóñòü èìååòñÿ ïîëíàÿ ãðóïïà íåñîâìåñòíûõ ãèïîòåç ñ èçâåñòíûìè âåðîÿòíîñòÿìè èõ íàñòóïëåíèÿ . Ïóñòü â ðåçóëüòàòå îïûòà íàñòóïèëî ñîáûòèå , óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè êîòîðîãî ïî êàæäîé èç ãèïîòåç èçâåñòíû, ò. å. èçâåñòíû âåðîÿòíîñòè .

       Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü êàêèå âåðîÿòíîñòè èìåþò ãèïîòåçû   îòíîñèòåëüíî ñîáûòèÿ , òî åñòü óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè .

       Òåîðåìà. Âåðîÿòíîñòü ãèïîòåçû ïîñëå èñïûòàíèÿ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè ãèïîòåçû äî èñïûòàíèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùóþ åé óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ, êîòîðîå ïðîèçîøëî ïðè èñïûòàíèè, äåëåííîìó íà ïîëíóþ âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ.

       Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà.

       

.

Ïðèìåð 7.  Äåòàëè, èçãîòîâëÿåìûå öåõîì çàâîäà, ïîïàäàþò äëÿ ïðîâåðêè èõ íà ñòàíäàðòíîñòü ê îäíîìó èç äâóõ êîíòðîëåðîâ. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äåòàëü ïîïàäåò ê ïåðâîìó êîíòðîëåðó  ðàâíà  0,6, êî âòîðîìó ðàâíà 0,4. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äåòàëü áóäåò ïðèçíàíà ñòàíäàðòíîé ïåðâûì êîíòðîëåðîì ðàâíà 0,94, à âòîðûì – 0,98. Ãîäíàÿ äåòàëü ïðè ïðîâåðêå áûëà ïðèçíàíà ñòàíäàðòíîé. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî åå ïðîâåðèë ïåðâûé êîíòðîëåð.

⭕ Ãèïîòåçû:  - äåòàëü ïðîâåðèë ïåðâûé êîíòðîëåð;

  - äåòàëü ïðîâåðèë âòîðîé êîíòðîëåð.

  Ñîáûòèå - äåòàëü ïðèçíàíà ñòàíäàðòíîé.

        

        

Êàê âèäíî äî èñïûòàíèÿ  ,  à ïîñëå  . ˜

Ïîâòîðåíèå èñïûòàíèé

Ôîðìóëà Áåðíóëëè

       Åñëè ïðîèçâîäèòñÿ íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî èñïûòàíèé, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè ñîáûòèå , è âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ýòîãî ñîáûòèÿ â êàæäîì èç èñïûòàíèé íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ îñòàëüíûõ èñïûòàíèé, òî òàêèå èñïûòàíèÿ íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè îòíîñèòåëüíî ñîáûòèÿ .

       Äîïóñòèì, ÷òî ñîáûòèå íàñòóïàåò â êàæäîì èñïûòàíèè ñ âåðîÿòíîñòüþ . Îïðåäåëèì âåðîÿòíîñòü  òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèé ñîáûòèå    íàñòóïèëî ðîâíî ðàç.

Èç çà áîëüøîãî îáúåìà ýòîò ìàòåðèàë ðàçìåùåí íà íåñêîëüêèõ ñòðàíèöàõ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10