Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæåò áûòü ëåãêî íàéäåíà, åñëè èçâåñòíà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ïî ôîðìóëå:
Ñâîéñòâà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ
1. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ – íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
2. Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë îò ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðåäåëàõ îò - ∞ äî ∞ ðàâåí åäèíèöå.
Ïðèìåð 22. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíåíà çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ:
Òðåáóåòñÿ íàéòè êîýôôèöèåíò à, îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîïàäåò â èíòåðâàë îò 0 äî 
.
❍
1) Äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòà à âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 
.
2) Íàõîäèì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííûé èíòåðâàë.
. ˜
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Ïóñòü íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 
çàäàíà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ f(x). Äîïóñòèì, ÷òî âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [a, b].
Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðîé ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [a, b], íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
Åñëè âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàññìàòðèâàþòñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:
Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ.
Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà åå îòêëîíåíèÿ.
Ïî àíàëîãèè ñ äèñïåðñèåé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ äèñïåðñèè èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà:
Îïðåäåëåíèå. Ñðåäíèì êâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíûé êîðåíü èç äèñïåðñèè.
Ïðèìåð 23. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 
çàäàíà èíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ 
.
Íàéòè:
äèôôåðåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ (ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé); ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.❍
. ˜
Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ çà÷àñòóþ òî÷íî íàéòè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äîâîëüíî ñëîæíî. Îäíàêî, âñå ïðîèñõîäÿùèå ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ìîæíî ðàçäåëèòü íà íåñêîëüêî òèïîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå êàêîé – ëèáî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ.
Âûøå áûëè ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå òèïû ðàñïðåäåëåíèé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû òàêèå êàê áèíîìèíàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå òèïû çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå
Îïðåäåëåíèå. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [a, b], åñëè íà ýòîì îòðåçêå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîñòîÿííà, à âíå åãî ðàâíà íóëþ.
Ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà 
ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà åäèíèöå ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîëó÷àåì 
.
f(x)
0 a b x
Íàéäåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) íà îòðåçêå [a, b].
F(x)
1
0 a b x
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîä÷èíÿëàñü çàêîíó ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìî, ÷òîáû åå çíà÷åíèÿ ëåæàëè âíóòðè íåêîòîðîãî îïðåäåëåííîãî èíòåðâàëà, è âíóòðè ýòîãî èíòåðâàëà çíà÷åíèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áûëè áû ðàâíîâåðîÿòíû.
Îïðåäåëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîä÷èíåííîé ðàâíîìåðíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.
Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â çàäàííûé èíòåðâàë:
Ïðèìåð 24. Öåíà äåëåíèÿ øêàëû èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà ðàâíà 0,2. Ïîêàçàíèÿ ïðèáîðà îêðóãëÿþò äî áëèæàéøåãî öåëîãî çíà÷åíèÿ. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè îòñ÷åòå áóäåò ñäåëàíà îøèáêà: à) ìåíüøàÿ 0,04 , á) áîëüøàÿ 0,05.
❍ 
à)
Îòâåò: 
á)
Îòâåò: 
˜
Ïðèìåð 25. Àâòîáóñû íåêîòîðîãî ìàðøðóòà èäóò ñòðîãî ïî ðàñïèñàíèþ. Èíòåðâàë äâèæåíèÿ 5 ìèíóò. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïàññàæèð, ïîäîøåäøèé ê îñòàíîâêå, áóäåò æäàòü àâòîáóñ ìåíåå 3 ìèíóò.
❍ 
Îòâåò: 
˜
Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Îïðåäåëåíèå. Ïîêàçàòåëüíûì (ýêñïîíåíöèàëüíûì) íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 
, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ ïëîòíîñòüþ
ãäå λ - ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Íàéäåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ãðàôèêè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ:
f(x) F(x)
λ 1
0 x 0 x
|
Èç çà áîëüøîãî îáúåìà ýòîò ìàòåðèàë ðàçìåùåí íà íåñêîëüêèõ ñòðàíèöàõ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
