Ó÷èòûâàåì, ÷òî ôóíêöèÿ 
÷åòíàÿ, òî åñòü 
.
Ïðèìåð 9. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñîáûòèå 
(ïåðåêëþ÷åíèå ïåðåäà÷) íàñòóïèò 70 ðàç íà 243 – êèëîìåòðîâîé òðàññå, åñëè âåðîÿòíîñòü ïåðåêëþ÷åíèÿ íà êàæäîì êèëîìåòðå ðàâíà 0,25.
⭕ 
, 
, 
, 
.
1) 
.
2) 
3) 
.˜
Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ëàïëàñà
Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ 
íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ 
ðàâíà 
. ×òîáû âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü 
, òîãî, ÷òî ñîáûòèå 
ïîÿâèòñÿ íå ìåíåå 
íå áîëåå 
ðàç, (
), èñïîëüçóåì èíòåãðàëüíóþ òåîðåìó Ëàïëàñà.
Òåîðåìà 7. (Èíòåãðàëüíàÿ òåîðåìà Ìóàâðà-Ëàïëàñà). Åñëè âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ 
â êàæäîì èñïûòàíèè ïîñòîÿííà è îòëè÷íà îò íóëÿ è åäèíèöå, òî âåðîÿòíîñòü 
òîãî, ÷òî ñîáûòèå 
ïîÿâèòñÿ â 
èñïûòàíèÿõ îò 
äî 
ðàç, ïðèáëèæåííî ðàâíà îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó:
, ãäå 
, 
Òàê êàê 
íå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè, òî åãî çíà÷åíèå íàõîäèì â òàáëèöå çíà÷åíèé ôóíêöèè Ëàïëàñà 
.
Ó÷èòûâàåì, ÷òî ôóíêöèÿ 
íå÷åòíàÿ, òî åñòü 
.
(äëÿ 
ïðèíèìàåì 
).
Òàêèì îáðàçîì,
.¢
Ïðèìåð 10 . Âåðîÿòíîñòü âûïóñêà íåñòàíäàðòíîé ëàìïû 
. ×åìó ðàâíà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïàðòèè èç 2000 ëàìï ÷èñëî ñòàíäàðòíûõ íå ìåíåå 1790 øòóê.
⭕ 
, 
, 
, 
, 
.
, 
.˜
Îòêëîíåíèå îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû
îò ïîñòîÿííîé âåðîÿòíîñòè â íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ
Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ëàïëàñà ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû 
îò âåðîÿòíîñòè 
â 
íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ. Èìååò ìåñòî ôîðìóëà:
,
ãäå 
- íåêîòîðîå ÷èñëî.
Ïðèìåð 11. Ïðîâåðêîé êà÷åñòâà ðàäèîëàìï óñòàíîâëåíî, ÷òî 95% èç íèõ ñëóæèò íå ìåíåå ãàðàíòèðóåìîãî ñðîêà. Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ïàðòèè èç 500 ëàìï, äîëÿ ëàìï, ñî ñðîêîì ñëóæáû ìåíåå ãàðàíòèðóåìîãî ñðîêà, áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò âåðîÿòíîñòè èçãîòîâëåíèÿ íå áîëåå, ÷åì íà 0,02.
⭕ 
, 
, 
, 
.
.˜
Ïðèìåð 12. Âåðîÿòíîñòü äîïóùåíèÿ äåôåêòà ïðè ïðîèçâîäñòâå ìåõàíèçìîâ ðàâíà 0,4. Ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòáèðàåòñÿ 500 ìåõàíèçìîâ. Óñòàíîâèòü âåëè÷èíó íàèáîëüøåãî îòêëîíåíèÿ èçãîòîâëåííûõ ìåõàíèçìîâ ñ äåôåêòàìè îò âåðîÿòíîñòè 0,4, êîòîðóþ ìîäíî ãàðàíòèðîâàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9973.
⭕ 
, 
, 
, 
.
Ïî òàáëèöå äëÿ 
íàõîäèì, ÷òî 
, îòêóäà 
.˜
Ôîðìóëà Ïóàññîíà
Åñëè 
, à âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ 
ðàâíà 
, òàê, ÷òî 
îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì è 
, òî âåðîÿòíîñòü 
âû÷èñëÿåì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ïóàññîíà:
Ïðèìåð 13 . Íåêîòîðîå ýëåêòðîííîå óñòðîéñòâî âûõîäèò èç ñòðîÿ, åñëè îòêàæåò îïðåäåëåííàÿ ìèêðîñõåìà. Âåðîÿòíîñòü åå îòêàçà â òå÷åíèå 1 ÷àñà ðàáîòû óñòðîéñòâà ðàâíà 0,004. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà 1000 ÷àñîâ ðàáîòû óñòðîéñòâà ïðèäåòñÿ 5 ðàç ìåíÿòü ìèêðîñõåìó.
⭕ 
, 
.
.
Ïî ôîðìóëå Ïóàññîíà: 
. ˜
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
Âûøå ðàññìàòðèâàëèñü ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ êà÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêîé ñëó÷àéíîãî ðåçóëüòàòà îïûòà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèñòèêè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â ðåçóëüòàòå îïûòà ìîæåò ïðèíèìàòü òî èëè èíîå çíà÷åíèå, ïðè÷åì çàðàíåå èçâåñòíî êàêîå èìåííî.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâå êàòåãîðèè.
Îïðåäåëåíèå. Äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ òàêàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â ðåçóëüòàòå îïûòà ìîæåò ïðèíèìàòü îïðåäåëåííûå çíà÷åíèÿ ñ îïðåäåëåííîé âåðîÿòíîñòüþ, îáðàçóþùèå ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî (ìíîæåñòâî, ýëåìåíòû êîòîðîãî ìîãóò áûòü çàíóìåðîâàíû).
|
Èç çà áîëüøîãî îáúåìà ýòîò ìàòåðèàë ðàçìåùåí íà íåñêîëüêèõ ñòðàíèöàõ:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
