Об обращении (стр. 3 )

а) y = 

  x

  3x2 – 2x - 4 

б) y = 

  2x - 1 

в) y =  cos4 (x2 – x + 1)3

г) y =  4x  ·  sin 2 x/3 

  5. Исследовать функцию и построить ее график

  а)  f(x) = 3x5 -  5x3  б)  f(x) =  3 + 2x2 – 8 x3

6.  Вычислить:

а)  ∫  (1 – 3 cos x/4) dx 

б)  ∫  √ 1-x  dx

  1

в)  ∫  (1 - ) dx

  -1

7.  Признак сходимости Даламбера. Знакопеременные ряды

8. Случайная величина. Закон распределения случайной величины.

9. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вариант 9

Понятие  экстремума функции. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия существования экстремума. Вычислите:

а)

б)

в)

Понятие определенного интеграла.  Формула Ньютона-Лейбница. Таблица основных интегралов (докажите одну из них). Найти производную

а) f(x)  =  x-2 ·

б) y =

в) y =  x · arcsin x +

г) y =  4cos x/4  · sin 3 x

  5. Исследовать функцию и построить ее график

  а)  f(x) = x5 /5  - x4 + x3  б)  f(x) =  1/3 x3 – 1/2 x2 – 2x + 1

6.  Вычислить:

а)  ∫  (x/2 -  sin2x/2) dx 

б)  ∫  (sin 3x – Ѕ x4) dx

  8

в)  ∫  (4x – 1/ 3 ) dx

  1

7.  Абсолютная и условная сходимость рядов. Функциональные ряды.

8. определение математического ожидания, дисперсии дискретной случайной величины.

9. Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.

Вариант 10

Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Вычислите:

  √1 + x  -  1 

а)           

  x 

б)

  tg 4x

в)           

  x 

Площадь криволинейной трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла. Найти производную

а)  y  =  x ·   +  x2 /   - 2

б) y = arctg

в) y =  (x3 – 1) (x2  + x + 1)

г) y =  5x  · ln sin  x/3

  5. Исследовать функцию и построить ее график

  а)  f(x) = x3  - 6x2 + x  б)  f(x) =  2 – 3x +  x3

6.  Вычислить:

а)  ∫  (x4 + 2/x3 – sin3x) dx 

б)  ∫  (cos 4x – e3x) dx

  3

в)  ∫  (sin x + 2/cos2 x) dx

  0

7.  Степенные ряды. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

8. Математическое определение дискретной случайной величины. Дисперсия случайной величины.

9. Нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.

5.Методические указания

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 1.1. Дифференциальное и интегральное исчисление.

       

       Определение: пусть f(x)  - функция определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Если она непрерывна в точке а, то назовем ее значение в точке а пределом  при стремлении х к а  и будем писать lim f(x) = f(a). Если функция  разрывна в точке а, то может случится, что этот разрыв устранимый. Тогда можно изменить значение функции в точке а или доопределить ее в этой точке так, что в результате получится функция  y= f(x), непрерывная в точке а:

  f(x), если x ≠ a

F(x) = 

  b, если х = а

Число b = f(а) называется пределом  функции у = f(x) при х→ а. В этом случае пишут

f(x) = b.

       Пример.

Вычислите:

  х2 - 5х + 1 

  lim          непрерывна в точке х = 1, то предел функции при х→ 1 равен

  x  → 1  3 х + 5

ее значению в этой точке, т. е.

  х2 - 5х + 1  1 – 5 + 1  3

  lim          =  =  -

  x  → 1  3 х + 5  3 + 5  8

Правила вычисления предела функции.

1. Если lim f(x) = b  и lim h(x) = c,  то

  x →a  x →a

  lim (f(x) ±  h (x)) = b ± c

  x →a 

  lim (f(x) x  h (x)) = b x  c

  x →a 

  lim  k  x  f(x) =  k  x lim f(x) 

  x →a  x →a 

  lim  f(x)/h(x) = b/c  (c  ≠ 0)

  x →a 

2.    sin x/ x  = 1

3. .  lim  cos x  = 1

  x →0 

4. .  lim  (1 + 1/x)x = l

  x →∞ 

       Определение: Производной функции f(x) в точке хо называется предел отношения приращения функции  f(хо) к приращению аргумента  х при  х→0, если этот предел существует. И обозначается f '(хо).

  f(хо)  f(x) – f(хо)

               Итак f '(хо) =    =  =

    х - хо

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции

       Правила дифференцирования

(с)'= 0 (u ±v)'= u'±v' (u ∙ v)'= u' ∙ v + u ∙ v'

  u' ∙ v – u ∙ v'

(u/v) ' =

  v2

Формулы дифференцирования

1.  (f(h(x))) ' = f' (h(x)) x  ∙  h'(x)

2. (sin x) ' =  cos x

3. (cos x) ' = - sin x

4. (tg x) ' = 1/cos2 x

5. (ctg x) ' = 1/sin 2 x

6. (ax) ' =  ax ∙ ln a

7. (еx) ' = еx

8. (ln x) ' = 1/x

9. (loga x) ' = 1/ x ∙ lnaа

10. (arcsin x) ' = 1/

11. (arccos x) ' = -1/

12. (arctg x) ' =  1/ 1+x2

13. (arcctg x) ' = -1/1+x2

       Пример. Вычислите производную

y = sin 3 (1-x2)

y'= (sin3 (1-x2))'* (sin (1-x2))'* (1-x2)' = 3 sin2 (1-x2 ) * cos (1-x2 ) * (-2x) =

= -6x * sin2(1-x2) * cos (1-x2)

       Определение. Пусть функция y = f(x), x Є(a;b) дифференцируема в некоторой точке  xo Є(a;b), т. е. в точке  xo существует предел  lim  Дf(xo) / Дx =  f'’ (xo) 

  Дx → 0 

  Отсюда имеем Д f(xo) /  Дx = f’(xo) + б, где  б - величина бесконечно малая при Д x→0, т. е. lim  б = 0 

  Д x → 0 

Значит Д f(xo) =  f'' (xo)  ∙ Дx + б∙ Дx. 

Второе слагаемое бесконечно малое при  Дx→0,  поэтому  d f(xo )= f ' (xo )∙ Дx  или 

dy = y'∙Д x.

       Пример. Вычислите дифференциал функции  y = x2 + cos 3x - 5

Dy = (x2 + cos 3x – 5)'dx = (2x – 3 sin 3x) dx.

       Определение. Дифференциальная функция f(x) , определенная на некотором промежутке x, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех  x из этого промежутка  F'(x) = f(x)  или  d F(x) = f(x) * dx

       Определение. Совокупность всех первообразных для функции  f(x), определенных на некотором промежутке x, называется неопределенным интегралом от функции f(x)  на этом промежутке и обозначается символом

  ∫ f(x) dx = f(x) + C, где F(x)  - первообразная 

C– производная постоянная.

       Для вычисления неопределенного интеграла существует таблица основных интегралов (см. учебник Математика для техникумов ), стр.251).

       Пример. Найти

∫(4x3 – 6x2 + 2x + 3)dx = ∫4x3 dx - ∫6x2 dx + ∫2xdx +  ∫3dx = 4 x4/4 – 6 x3/3 + 2 x2/2 +

+3x + C.

∫(5x4 – 8/cos2x  +  3√x  +  1) dx  =  ∫ 5x4 dx – ∫8/cos2x * dx  +  ∫3√x dx  + ∫dx =

= 5 * x5/5 – 8 * tg x + 3 x3/2/ 3/2  + x + C = x5  - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫23x *  3x  dx  =  ∫(23 * 3)x dx = ∫ 24 x dx  =  24x  / ln 24  + C.