Об обращении (стр. 4 )

       Определение. Приращения  F(b) – F (a)  любой из первообразных функций f(x) + C при изменении аргумента от х = а до х = b  называется определенным интегралом от а до  b  функции f(x),  и обозначается f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a),  и называется формулой  Ньютона-Лейбница.

       Пример.  Вычислить

  2  2 

1. ∫ (x2 – 3x  + 7)dx  =  ( x3  -  3/2 x2  + 7x) |  =  (1/3 * 23 – 3/2 * 22 + 7*2) – (1/3 *(-1) 3  - 

  -1  -1

- 3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

       Определение. Фигура ограниченная графиком функции y = f(x), отрезком [a;b] и прямыми х = а  и х = b называется криволинейной трапецией.

  b

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

  a

Пример. Вычислить площадь фигуры ограниченной  y = Ѕ x2 + 1  y = 0  x = -2  x = 3

  y  3  3

  S= ∫  (1/2 x2 + 1) dx = (1/6 x3 + x) |  = (1/6 * 33+3) -

  -2  -2

  - (1/6 (-2)3 – 2) = 10 5/6

  -2  0  3  x

Тема 1.2.  Обыкновенные дифференциальные уравнения

       Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащего независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. Такое уравнение называется дифференциальным.

       Определение. Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

       Символически дифференциальное уравнение записывается так:

F(x, y, y' , y'', .....y (h)) = 0

2x + y – 3y'= 0  y'2 – 4 = 0, sin y'= cos xy, y'' = 2x являются дифференциальными уравнениями.

       Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называются наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

       xy' + y – 2 = 0 –  уравнение первого порядка

  y'' + 7y'- 3y = 0 – уравнение третьего порядка

       Определение 3. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y') = 0

y'= f(x, y) – уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

       

       Определение 4. Всякое отдельно взятое решение дифференциального уравнения называется его частным решением.

       Определение 5. Функция, заданная формулой y = (e (x, C)  или  y = y(x, C) – представляет общее решение дифференциального решения  F(x, y, y') = 0 или 

y' = f(x, y).

       Задача Коши. При решении конкретных задач часто необходимо выделить из всей совокупности решений дифференциального уравнения то частное решение, которое является ответом на поставленный вопрос. Для того чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, задают так называемые начальные условия.

       В случае дифференциальных уравнений первого порядка y' = f(x, y) под начальным условием для его решения y = y(x)  понимают условия, состоящие в том, что y = yo при х = хо т. е. y (хо) = yo,  где  xo  и  yo  - заданные числа (начальные данные), такие, что при  х = хо  и y = yo функция  f(x, y) имеет смысл, т. е. существует f(xо, yо).

       Определение 6. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

       В случае дифференциального уравнения первого порядка задача Коши формулируется следующим образом: найти решение y = y(x)  уравнения y' = f(x, y), удовлетворяющее при заданных начальных данных (xо, yо) начальному условию

y (хо) = yo, или, в другой записи, yх=х0  = yo, где xо, yо – заданные числа.

       Определение 7. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид: y'= f1(x) f2(y)  или

dy/f2(y) = f1(x) dx.

Теорема: Если существуют интегралы  ∫dy/f2(y)  и ∫ f1(x) dx, то общий интеграл уравнения  с разделенными переменными задается уравнением

F2 (y) = F1(x) + C, где  F2(y) и  F1(x) – некоторые первообразные соответственно функций  1/f2 (y) и f1 (x).

       При решении дифференциальных уравнения с разделяющими переменными можно руководствоваться следующим алгоритмом:

разделить переменные (с учетом условий, когда это можно делать); интегрируя почленно полученные уравнения с разделенными переменными, найти его общий интеграл; выяснить, имеет ли уравнение решения, не получающиеся из общего интеграла; найти частный интеграл (или решение), удовлетворяющий начальным условиям (если это требуется).

Пример. Найти частное решение уравнения  2yy' = 1-3x2  если  yo = 3 при  x o =1

       Это уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах:

  dy

2y  = 1- 3x2

  dx

Отсюда  2y * dy = (1-3 x2 ) dx 

       Интегрируем обе части последнего равенства, найдем ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x2) dx получаем у2 = x – x3 + C. Подставив начальные значения yo = 3  x o =1 найдем

С : 9 = 1-1+С т. е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет y2 = x – x3 + 9 или 

x3 + y2 – x – 9 = 0

Тема 1.4. Ряды.

       Определение 1. Числовым рядом называется выражение вида

а1 + а2 + …аn + ………., где а1, а2, ……аn – числа, принадлежащие некоторой определенной числовой системе.

Для сокращенного обозначения рядов используется знак суммирования У, а 

  ∞

именно а1 + а2 + …аn + ……….=  У  an

  n = 1

       Определение 2.  Числа а1,а2,  …аn, …..называются членами ряда; аn – называется общим членом ряда.

       Определение 3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частных сумм S1, S2, S3.........Sn, ......  сходится, т. е. если существует конечный предел

Lim  Sn  = S

h→∞

Число S называется суммой ряда. Если Lim  Sn  не существует или Lim  Sn  =  ∞, то ряд

  h→∞  h→∞

называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

       Теорема 1. Если ряд сходится, то его общий член аn  стремится к нулю.

Если Lim  аn  ≠ 0 или этот предел не существует, то ряд расходится. 

  h→∞ 

       Теорема 2. Пусть дан ряд а1 + а2 + …аn + ……….,с положительными членами.

  аn + 1  аn + 1

Допустим, что Lim  существует и Lim  = Р

  h→∞  аn  h→∞  аn 

Тогда:

если Р<1, то ряд сходится если Р>1, то ряд расходится.

Определение 3. Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются закономерными.

Определение 4. Закономерный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

|а1 |  + |а2 | + …+ | аn | + ………., составленный из модулей его членов.

       Определение 5. Ряд а1 + а2 + …аn + ………., называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |а1 |  + |а2 | + …+ | аn | + ………., составленный из модулей его членов, расходится.

Определение 6. Ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно (а1 + а2 + а3 – а4 +…..+(-1)n+1 *

*an + ....)

       Теорема 3. Знакочередующимся ряд сходится, если:

его члены убывают по модулю,

  а1≥  а2 ≥  …  ≥аn ≥ …….. 

его общий член стремится к нулю,

  lim аn  = 0

  h→∞ 

       При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенством  0≤ S ≤a1 

       Определение 7.  Пусть  u1 (x), u2 (x),.....un (x) ... - некоторая последовательность функций. 

  ∞

Выражение вида  У un(x) =  u1 (x), u2 (x),.....un (x) + называется функциональным рядом.

  n=1 

       Определение 8. Функциональный ряд называется сходящимся в точке  xo, если

  ∞

числовой ряд У un(xo) =  u1 (xo), u2 (xo),.....un (xo) + ......

  n=1 

полученный из функционального ряда подстановкой x = xo  , является сходящимся рядом. При этом  называется  точкой сходимости ряда.

       Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида 

  ∞

  У an(x-xo)n =  ao  + a1 (x-xo), a2 (x-xo)2,.....an (x-xo)n + ......

  n=1 

где х – независимая переменная,  хo  - фиксированное число,  аo, а1, а2, … а n….. – постоянные коэффициенты.

Раздел 2.1. Основы дискретной математики.

Тема 2.1. Множества и отношения. Свойства отношений. Операции над множествами.

       Множество – основное понятие а теории множеств, которое вводится без определения. О множестве известно как минимум то, что оно состоит из элементов.

       Множество А называется

подмножеством множества В и обозна-

чается А  ∈  В, если всякий элемент из А

является элементом В (рис.1)

                                                                         рисунок 1