Рисунок 1.2 – Принцип неопределенности

Следует отметить, что спектральное представление (образ) вейвлетов аналогично заданию окна в оконном преобразовании Фурье. Но отличие состоит в том, что свойства окна (его ширина и перемещение по частоте) присущи самим вейвлетам. Это служит предпосылкой их адаптации к сигналам, представляемым совокупностью вейвлетов. Поэтому нетрудно понять, что с помощью вейвлетов можно осуществить анализ и синтез локальной особенности любого сигнала S(t) (функции S(x)).

Главные признаки вейвлета

В  качестве базисных функций, образующих ортого­нальный базис, можно использовать широкий набор вейвлетов. Для практического применения важно знать признаки, которы­ми непременно должна обладать исходная функция, чтобы стать вейвлетом. Приведем здесь основные из них.

Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть ко­нечным:

  (1.2)

Локализация. ВП в отличие от преобразования Фурье использует локализованную исходную функцию и во времени, и по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:

и , при > 0.  (1.3)

Например, дельта-функция и гармоническая функция не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временной и частотной областях.

Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллировать (быть знакопеременным) вокруг нуля на оси времени (см. рисунок 1.1) и иметь нулевую площадь

  (1.4)

Из этого условия становится понятным выбор названия «вейвлет» - маленькая волна.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Равенство нулю площади функции , т. е. нулевого момента, приводит к тому, что фурье-преобразование этой функции равно нулю при = 0 и имеет вид полосового фильтра. При различных значениях, а это будет набор полосовых фильтров.

Часто для приложений бывает необходимо, чтобы не только нулевой, но и все первые n моментов были равны нулю

  (1.5)

Вейвлеты n-го порядка позволяют анализировать более тонкую (высокочастотную) структуру сигнала, подавляя медленно изменяющиеся его составляющие.

Автомодельность. Характерным признаком ВП является его самоподобие. Все вейвлеты конкретного семейства имеют то же число осцилляции, что и материнский вейвлет , поскольку получены из него посредством масштабных преобразований (a) и сдвига (b).


Примеры материнских вейвлетов

Основные вейвлетообразующие функции, или материн­ские вейвлеты, приведены в таблице 1.1.

Наиболее распространенные вещественные базисы конст­руируются  на основе производных функции Гаусса (). Это обусловлено тем обстоятельством, что функция Гаусса имеет наилучшие показатели локализации как во временной, так и в частотной областях.

На рисунке 1.3 показаны вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной плотности. При п = 1 получаем вейвлет первого порядка, называемый WAVE-вейвлетом с равным нулю нулевым моментом. При п = 2 получаем MHAT-вейвлет, назы­ваемый «мексиканская шляпа» (mexican hat - похож на сомбре­ро). У него нулевой и первый моменты равны нулю. Он имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет.

Таблица 1.1 – Основные вейвлетообразующие функции

Вейвлеты

Аналитическая запись

Спектральная плотность

Вещественные непрерывные базисы

Гауссовы:

–  первого  порядка,  или

WAVE-вейвлет,

–  второго  порядка,  или

MHAT-вейвлет  «мексиканcкая шляпа» – mexican hat),

– n-го порядка,


DOG  –  difference  of gaussians

LP-Littlewood & Paley

Вещественные дискретные

HAAR-вейвлет


FHAT-вейвлет, или

«французская шляпа»

(French hat – похож на

цилиндр)


Комплексные

Морле (Morlet)

Пауля  (Paul)  (чем

больше  n,  тем  больше

нулевых моментов имеет вейвлет)



Наиболее простой пример дискретного вейвлета - это HAAR-вейвлет. Недостатком его являются несимметричность формы и негладкщсть - резкие границы в t-области, вследствие чего возникает бесконечное чередование «лепестков» в частотной области, хотя и убывающих как .

Рисунок 1.3 – Вейвлеты первых четырех порядков

LR-вейвлет, имеющий, наоборот, резкие границы в со-об-ласти, можно считать другим предельным случаем.

Среди комплексных вейвлетов наиболее часто используется базис, основанный на хорошо локализованном и во временной и в частотной областях вейвлете Морле. Характерный параметр позволяет изменять избирательность базиса. Вещественная и мнимая части - это амплитудно-модулированные колебания.

Выше был представлен небольшой перечень типов вейвлетов, описываемых аналитически в явном виде. Однако большинство типов вейвлетов не имеют аналитического описания в виде одной формулы, а задаются итерационными выражениями, легко вычисляемыми компьютерами. Примером таких вейвлетов являются функции Добеши (Daubechies), одна из которых (db4) используется в качестве встроенной для ВП в Mathcad.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4