В настоящее время выбор вейвлетов довольно обширен.

Только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 (MATLAB 6) представлено полтора десятка материнских вейвлетов; при этом для ряда из них дано ещё множество вариантов. Для получения справки по какому-либо типу вейвлета при работе в командном режиме MATLAB достаточно исполнить команду waveinfo ('type'), указав тип вейвлета. Для просмотра же вейвлетов достаточно исполнить команду wavemenu и в появившемся окне со списком разделов ВП нажать кнопку Wavelet Display. Нажатие этой кнопки выводит окно просмотра вейвлетов, в котором имеется возможность просмотра: общей информации о вейвлетах, выбранного вейвлета (с именем 'Name') и информации о нем.

На рисунке 1.4 дано окно просмотра Wavelet Display с данными о вейвлете Добеши db4.

Выбор конкретного материнского вейвлета (будь то непрерывный или дискретный) целиком зависит от характера поставленной задачи и от конкретного анализируемого сигнала. Разные сигналы удается анализировать тем или иным способом, и критерием успеха обычно служит простота получаемого разложения. При этом решающим фактором оказываются интуиция и практический опыт исследователя.

Рисунок 1.4 – Окно просмотра Wavelet Display с данными о

вейвлете Добеши db4

Непрерывное вейвлет-преобразование

Непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразованые (НВП или CWT - continuous wavelet transform).

Сконструируем базис с помощью непрерывных мас­штабных преобразований (а) и переносов (b) материнского вейвлета с произвольными значениями базисных парамет­ров а и b в формуле (1.6).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Тогда по определению прямое (анализ) и обратное (синтез) НВП (т. е. ПНВП и ОНВП) сигнала S(t) запишутся:

(1.6)

(1.7)

где  – нормирующий коэффициент

(1.8)

(⋅,⋅) – скалярное произведение соответствующих сомножителей,   – фурье-преобразование  вейвлета  .  Для  ортонормированных вейвлетов  = 1.

Из (1.6) следует, что вейвлет-спектр (wavelet spectrum, или time-scale-spectrum – масштабно-временной спектр) в отличие от фурье-спектра (single spectrum) является функцией двух аргументов: первый аргумент а (временной масштаб) аналогичен периоду осцилляции, т. е. обратен частоте, а второй b-аналогичен смещению сигнала по оси времени.

Следует отметить, что характеризует временную зависимость (при а = а0), тогда как зависимости можно поставить в соответствие частотную зависимость (при b = b0).

Если исследуемый сигнал S(t) представляет собой одиночный импульс длительностью , сосредоточенный в окрестности t = t0, то его вейвлет-спектр будет иметь наибольшее значение в окрестности точки с координатами а = , b = t0.

Способы представления (визуализации) могут быть различными. Спектр является поверхностью в трехмерном пространстве (см. рисунок 1.5). Однако часто вместо изображения поверхности представляют её проекцию на плоскость ab с изоуровнями (рисунок 1.6), позволяющими проследить изменение интенсивности амплитуд ВП на разных масштабах (а) и во времени (Ь). Кроме того, изображают картины линий локальных экстремумов этих поверхностей, так называемый скелетон (sceleton), который выявляет структуру анализируемого сигнала.

Рисунок 1.5 – Спектр

Рисунок 1.6 – Проекция на плоскость ab с изоуровнями

Свойства вейвлет-анализа

Прямое ВП содержит комбинированную информацию об анализируемом сигнале и анализирующем вейвлете. Несмотря на это, ВП позволяет получить объективную информацию о сигнале, потому что некоторые свойства ВП не зависят от выбо­ра анализирующего вейвлета. Независимость от вейвлета делает эти простые свойства очень важными.

Линейность. Она следует из скалярного произведения (1.16):

Сдвиг. Смешение сигнала во временной области на b0 ведет к сдвигу вейвлст-образа также на b0:

Масштабирование. Растяжение (сжатие) сигнала приводит также к растяжению (сжатию) его в области :

Дифференцирование:

где . Из этого свойства следует, что проигнорировать, например, крупномасштабные составляющие и проанализировать особенности высокого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала S(t) можно дифференцированием нужное число раз либо вейвлета, либо самого сигнала. Если учесть, что часто сигнал задан цифровым рядом, а анализирующий вейвлет-формулой, то это свойство весьма полезное.

Масштабно-временная локализация. Она обусловлена тем, что элементы базиса ВП хорошо локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.

За счет изменения масштаба (увеличение а приводит к сужению фурье-спектра функции ) вейвлеты способны выявлять различие в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарных сигналов за счет свойства локальности вейвлетов получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале.

Поэтому неслучайно многие исследователи называют вейвлет-анализ «математическим микроскопом». Это название хорошо отражает замечательные свойства метода сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Параметр сдвига b фиксирует точку фокусировки микроскопа, масштабный коэффициент а - увеличение, и, наконец, выбором материнского вейвлета определяют оптические качества микроскопа. Способность этого микроскопа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойства.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4