Сопоставление  с преобразованием Фурье

Классическое преобразование Фурье (ПФ) является тра­диционным математическим аппаратом для анализа стационар­ных процессов. При этом сигналы разлагаются в базисе косину­сов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции простираются вдоль всей оси времени.

С практической точки зрения и с позиций точного пред­ставления произвольных сигналов ПФ имеет ряд ограничений и недостатков. Обладая хорошей локализацией по частоте, оно не обладает временным разрешением. ПФ даже для одной за­данной частоты требует знания сигнала не только в прошлом, но и в будущем, а это – теоретическая абстракция. Обусловлено это тем, что базисной функцией при разложении в ряд Фурье явля­ется гармоническое колебание, которое математически опреде­лено на временном интервале от до + . ПФ не учитывает, что частота колебания может изменяться во времени. Локальные особенности сигнала (разрывы, ступеньки, пики и т. п.) дают ед­ва заметные составляющие спектра, по которым обнаружить эти особенности, и тем более их место и характер, практически не­возможно. В этом случае невозможно и точное восстановление сигнала из-за появления эффекта Гиббса. Для получения о сиг­нале высокочастотной информации с хорошей точностью следу­ет извлекать ее из относительно малых временных интервалов, а не из всего сигнала, а для низкочастотной спектральной инфор­мации наоборот. Кроме того, на практике не все сигналы ста­ционарны, а для нестационарных сигналов трудности ПФ воз­растают многократно.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Часть указанных трудностей преодолевается при использовании окопного ПФ:

(1.9)

в котором применяется предварительная операция умножения сигнала S(t) на «окно» при этом окном является локальная во времени функция (например, прямоугольная, т. е. при t < 0 и t < ), перемещаемая вдоль оси времени t (рис. 1.7) для вычисления ПФ  в разных позициях b. В результате получается текущий спектр, т. е. частотно-временное описание сигнала.

Рисунок 1.7 – Визуализация преобразования Фурье

Если окно, показанное на рисунке 1.7, перемещать скачками (через ) вдоль всего времени существования сигнала S(t), то за некоторое число таких перемещений возможен «просмотр» всего сигнала. Так что вместо обычной спектрограммы получится набор спектрограмм, схематично представленный в виде прямоугольников на рисунок 1.8, а. Такой спектральный анализ равносилен анализу с помощью набора фильтров с постоянной шириной полосы пропускания, равной.

Очевидно, что, поскольку каждое окно выделяет свой небольшой участок во времени, точность представления и разрешающая способность (по времени) могут быть повышены. Однако ввиду известного принципа неопределенности ( = const) невозможно получить одновременно высокое разрешение и по частоте, и по времени. Окну с узкой шириной ( ) во времени будет соответствовать плохое разрешение по частоте (большая величина ().

Недостаток оконного ПФ состоит в том, что используется фиксированное окно и, следовательно, фиксированное разрешение по времени и частоте для всех точек плоскости преобразования (рисунок 1.8, а), которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.

а  б

Рисунок 1.8 – Окна в преобразованиях: а – Фурье, б – Вейвлета

ВП имеет существенное преимущество перед ПФ прежде всего за счет свойства локальности у вейвлетов. В вейвлет-преобразовании операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая сужает и расширяет окно (рисунок 1.8, б): с ростом параметра а увеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением этого параметра уменьшается разрешение по частоте и увеличивается  по  времени.  Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна. Подвижное частотно-временное окно одинаково хорошо выделяет и низкочастотные, и высокочастотные характеристики сигналов. Это свойство ВП дает ему большое преимущество при анализе локальных свойств сигналов.

Возможно локально реконструировать сигнал: реконструировать только часть сигнала или выделить вклад определенного масштаба. Если вейвлет-коэффициенты подвержены случайным ошибкам, они будут действовать на реконструируемый сигнал локально вблизи положения возмущения, а ПФ распространяет ошибки по всему восстанавливаемому сигналу.

Именно благодаря выявлению локальных особенностей сигнала, принципиально отсутствующему у ПФ, ВП нашло широкое применение для анализа тонкой структуры сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума, что важно и полезно в радиотехнике, электронике, гидроакустике, геофизике, медицине и других областях науки и техники. При этом стоит отметить, что ВП ни в коем случае не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет его достоинств и значимости при работе со стационарными процессами и когда нет необходимости исследовать локальную структуру сигналов. ВП просто иное и позволяет посмотреть на исследуемый процесс с иной точки зрения.



Вейвлет анализ в Matlab

Wavelet Toolbox – это открытый, дружественный для пользователя пакет расширения MatLab, позволяющий синтезировать всевозможные алгоритмы обработки информации – данных, сигналов и изображений – с использованием вейвлет-функций. В своей работе пакет широко использует возможности системы MatLab (матричные алгоритмы вычислений, стильную и в тоже время мощную графику) для решения задач анализа (шумоподавления, расфильтровки, сжатия и восстановления): это предоставляет в распоряжение как начинающего, так и профессионального пользователя исчерпывающий набор функций для реализации собственных алгоритмов обработки данных, т. е. написания собственного m-кода, а также средства графического интерфейса (GUI). Можно сказать, пакет Wavelet Toolbox оказывается превосходным средством для решения задач обработки одно - и двумерной информации: действительно, спектр задач, решаемых с использованием пакета, настолько широк, что упоминание таких проблем, как обработка звука, статических изображений и видеокартинок, не говоря уже о передаче данных, исследовании массивов геофизических, сейсмоакустических данных, биомедицинских сигналов и изображений, будет, естественно, далеко не полным.


Содержание пакета

Обширная библиотека вейвлет-функций (континуальных неортогональных вейвлетов, в том числе комплексных; ортогональных семейств функций, функций Добеши, Койфмана, а также симлетов; биортогональных вейвлетов);

широкий набор вейвлет-фильтров;

всевозможные функции для реализации континуального анализа, дискретного одноуровневого и дискретного многоуровневого анализа;

функции анализа и синтеза данных с использованием вейвлет-пакетов;

функции для решения задач аппроксимации данных, статистических распределений и т. п.;

функции внедрения в пакет собственных вейвлет-функций и работы с ними;

набор средств визуализации результатов анализа и синтеза;

средства GUI.


GUI – графический интерфейс пользователя

Графический интерфейс пользователя, имеющийся в арсенале средств пакета Wavelet Toolbox, обеспечивает доступ ко всем возможностям пакета, достигаемым при использовании стандартных функций командной строки:

GUI для континуального анализа данных с использованием континуальных вейвлет-функций, в том числе комплексных;

GUI для одномерного дискретного анализа данных;

GUI для двумерного дискретного анализа изображений;

GUI для расфильтровки и шумоподавления одно - и двумерных данных;

GUI для оценивания плотности распределений данных;

GUI для одномерного регрессионного оценивания данных, дискретизованных с эквидистантным или неравномерным шагом;

GUI для сжатия и восстановления одномерных данных с использованием техники дополнения нулями, симметризации и т. п.

Практическая часть

В данной работе рассматривается задача из области геологоразведки методом электромагнитного зондирования земли. Даны четыре дискретных сигнала: Ex(n), Ey(n), Hx(n), Hy(n), где n – номер дискретного отсчета времени. Первые два сигнала представляют собой электрическую напряженность, вторые два – магнитную напряженность, в целом они описывают электромагнитное поле во взаимно перпендикулярных проекциях X и Y.

В частотной области эти сигналы подчиняются следующей взаимосвязи, записанной в виде матричного уравнения:

.

где Zxx, Zxy, Zyx, Zyy – компоненты импеданса Z, описывающие электрические свойства земли на различных глубинах; f – некоторая фиксированная частота всех сигналов.

Компоненты импеданса Z являются неизвестными, которые и следует определить.

Решение поставленной задачи проводилось с помощью Matlab и встроенного пакета Wavelet Toolbox. Для это бала написана программа, код которой представлен в приложении Б. Суть этой программы заключается в том, что сначала с помощь графического интерфейса проводится вейвлет-преобразование заданных сигналов (Ex, Ey, Hx, Hy), в результате чего получаются четыре массива коэффициентов при разных значениях масштаба a. Далее для каждого значения а составляются матричные уравнения вида:

В данном случае количество столбцов очень большое и решение уравнения может быть получено следующим образом:

где Z, E, H – соответствующие матрицы.

Эта операция выполняется строкой impedans = matr_E / matr_H;

Далее соответствующие значения Zxx, Zxy, Zyx, Zyy сохраняются в свои массивы. После выполнения всего цикла операций строятся графики зависимости полученных значений от частоты или масштаба а (что эквивалентно) в логарифмических масштабах (см. приложение А).

Заключение

В процессе выполнения курсовой работы было произведено ознакомление с основами вейвлет-преобразования, проанализированы заданные сигналы с помощью встроенного пакета Wavelet Toolbox в Matlab. На основе полученных результатов выведены соответствующие графики зависимостей.

Приложение А

(обязательное)

Графический материал

1 – Зависимость |Zxx| от а в логарифмическом масштабе

2 – Зависимость |Zxy| от а в логарифмическом масштабе

3 – Зависимость |Zyx| от а в логарифмическом масштабе

4 – Зависимость |Zyy| от а в логарифмическом масштабе

Приложение Б

(обязательное)

Листинг программы

W_Coef_Ex = [,];

W_Coef_Ex = [,];

W_Coef_Ex = [,];

W_Coef_Ex = [,];

[n_str, n_col] = size(W_Coef_Ex. coefs)

matr_E = [,];

matr_H = [,];

for i=1:1:n_str; %перебор всех строк двемерного массива

       %заполнение двух матриц matr_E и matr_H значениями при одном 'a'

       for j=1:1:n_col;

               matr_E(1,j) = W_Coef_Ex. coefs (i, j);

               matr_E(2,j) = W_Coef_Ey. coefs (i, j);

               matr_H(1,j) = W_Coef_Hx. coefs (i, j);

               matr_H(2,j) = W_Coef_Hy. coefs (i, j);

       end

       %получение значения импеданса

       impedans = [,];

       impedans = matr_E / matr_H;

       

       %перенос зачений в конечные массивы

       Zxx(i) = impedans(1,1);

       Zxy(i) = impedans(1,2);

       Zyx(i) = impedans(2,1);

       Zyy(i) = impedans(2,2);

end

plot(abs(Zxx));

plot(abs(Zxy));

plot(abs(Zyx));

plot(abs(Zyy));

loglog(W_Coef_Ex. scales, abs(Zxx));

loglog(W_Coef_Ey. scales, abs(Zxy));

loglog(W_Coef_Hx. scales, abs(Zyx));

loglog(W_Coef_Hy. scales, abs(Zyy));

1, лист 1

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4