МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение
«Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого»
Кафедра прикладной математики
УТВЕРЖДАЮ
Декан ФМИ
_____________
«____» ______________2001 г.
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Дисциплина для специальности 010200
Прикладная математика и информатика
Рабочая программа
Согласовано: Начальник УМУ _____________________ «____» _____________________2001 г | Разработал:доцент ____________________ «____» _____________________2001 г. Заведующий. Кафедрой _______________________ «___» __________________2001 г. |
1. Введение
Дисциплина «Методы оптимизации» относится к дисциплинам федерального компонента. Она входит в блок общепрофессиональных дисциплин и читается в 5-м семестре.
Дисциплина «Методы оптимизации» использует соответствующие разделы дисциплин «Математический анализ», «Геометрия и алгебра», «Дифференциальные уравнения». Преподавание дисциплины имеет целью дать студентам углубленное знание идей и методов выпуклого анализа, линейного и выпуклого программирования, вариационного исчисления и оптимального управления. Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
- овладение понятиями выпуклого множества и выпуклой функции, приобретение навыков решения оптимизационных задач линейного и выпуклого программирования при наличии ограничений типа равенств и неравенств, овладение понятием функционала и методами решения задач вариационного исчисления, приобретение навыков решения задач оптимального управления в различных постановках.
2. Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля
Общий объем дисциплины составляет 102 часа. Остальные ее характеристики представлены в таблице:
Вид учебной работы | Всего |
Аудиторные занятия | 68 |
- лекции | 34 |
- практические занятия | 34 |
Самостоятельная работа | 37 |
20 | |
17 | |
Всего | 105 |
Вид итогового контроля | Экзамен |
Формы контроля знаний студентов: опрос на практических занятиях, проведение контрольной работы, экзамен.
3. Содержание дисциплины
3.1. Теоретические и практические занятия
3.1.1 Выпуклый анализ.
Выпуклые множества. Проекция точки на множество и уравнение разделяющей прямой. Теоремы отделимости. Теорема Хелли о покрытиях выпуклыми множествами. Конус. Теорема Фаркаша. Выпуклые функции. Критерии выпуклости множеств и функций. Свойства выпуклых множеств и функций.
3.1.2. Математическое программирование.
Основная задача выпуклого программирования. Экстремальные свойства выпуклых функций на выпуклых множествах. Условие регулярности Слейтера. Необходимые условия оптимальности. Достаточные условия оптимальности. Теорема Куна-Таккера. Функция Лагранжа. Теорема о седловой точке. Решение задач на экстремум при наличии ограничений типа равенств и неравенств с использованием метода множителей Лагранжа и теоремы Куна-Таккера. Задачи выпуклого программирования.
3.1.3. Линейное программирование.
Основная задача линейного программирования. Решение задач линейного программирования графически и перебором базисных решений. Двойственность в задачах линейного программирования. Нахождение экстремума с использованием принципа двойственности. Канонический вид задачи. Конечные методы решения. Симплекс-метод. Метод отыскания исходной угловой точки. Метод возмущений для решения вырожденных задач.
3.1.4. Вариационное исчисление.
Понятие функционала. Непрерывность функционалов. Первая и вторая вариации. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера для нахождения экстремалей. Достаточные условия экстремума функционала. Условия Лежандра и Якоби. Вариационные задачи в параметрической форме. Задачи со старшими производными. Изопериметрическая задача. Вариационные задачи с подвижными границами. Задача Больца. Классические задачи вариационного исчисления.
3.1.5. Оптимальное управление.
Постановка задачи. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач оптимального управления. Игольчатое варьирование управления. Принцип максимума . Линейные оптимальные быстродействия. Синтез оптимального управления. Решение задач оптимального управления с функционалом, заданным в интегральной форме, а также с функционалом, зависящим от состояния системы на границе. Некоторые обобщения. Динамическое программирование. Принцип оптимальности Беллмана Уравнение Беллмана.
3.1.6. Обзорные занятия (подготовка к экзамену)
Трудоемкость занятий по темам 3.1.1-3.1.6 указана в таблице:
Темы занятий | Трудоемкость в часах | ||
Лекции | Практич. занятия | Самост. работа | |
3.1.1 | 6 | 4 | 6 |
3.1.2 | 6 | 6 | 6 |
3.1.3 | 6 | 4 | 5 |
3.1.4 | 8 | 6 | 6 |
3.1.5 | 8 | 8 | 8 |
3.1.6 | - | 6 | 6 |
Итого | 34 | 34 | 37 |
3.2. Примерные темы курсовых работ
а) Использование линейного программирования в экономических задачах.
б) Использование симплекс метода (с разработкой программы).
в) Классические задачи вариационного исчисления.
г) Динамическое программирование в задачах оптимального управления.
4. Учебно-методическое обеспечение
4.1. Основная литература
ведение в методы оптимизации. М.-Наука, 1972. инамическое программирование. М.-ИЛ, 1960. Динамическое программирование и современная теория управления. М.-Наука, 1969. , Фомин исчисление. М.-Физматгиз, 1961. , Астафьев в теорию линейного и выпуклого программирования. М.-Наука, 1976. Математическое программирование. М.-Наука, 1976. , , Киселев исчисление.
М.- Наука, 1973. Численные методы в теории оптимальных систем. М.-Наука, 1971. , Гольштейн программирование. М.-Наука, 1969.
4.2. Дополнительная литература
инейное программирование. М.-Физматгиз, 1961. Краснов М. Л. и др. Вариационное исчисление. М.-Наука, 1973. , Люстерник вариационного исчисления. М. Л.-Гостехиздат, 1950 Математическая теория оптимальных процессов. М.- Наука, 1976. ыпуклый анализ. М.-Мир, 1973.
4.3. Контрольные материалы
1. Экзаменационные билеты.
