Алгебра 9 класс. Разложение квадратного трехчлена на множители

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа рабочего поселка

(поселка городского типа) Ерофей Павлович

Алгебра 9 класс.  Разложение квадратного трехчлена на множители

  Учитель:

2015 год

Алгебра 9 класс.  Разложение квадратного трехчлена на множители

,

учитель математики и информатики, МБОУ СОШ п. г. т. Ерофей Павлович.

Цель урока:

способствовать развитию навыков нахождения корней квадратного трехчлена; организовать деятельность учащихся по восприятию, осмысливанию и первичному запоминанию новых знаний; разобрать и доказать теорему о разложении на множители  квадратного трехчлена, имеющего корни, при решении проблемной ситуации: можно ли разложить квадратный трехчлен на множители; рассмотреть использование теоремы о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, для сокращения дробей; содействовать развитию логического мышления, внимания, речи и умения работать самостоятельно.

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Оборудование: мультимедиа проектор, презентация к уроку.

«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».

Джордж Пойа.

Ход урока

I. Организационный момент

Сегодня на уроке в совместной деятельности мы подтвердим слова Джорджа Пойа (Слайд 1).

Сообщение о Пойа (Слайд 2)

II. Актуализация опорных знаний

а) Сначала проверим домашнее задание № 60 и № 75.

На доске решают 2 ученика:

№ 60(а). Найти корни квадратного трехчлена: 10х2 + 5х – 5. (Ответ: х1 = -1; х2 =0,5). Дополнительный вопрос: сколько корней может иметь квадратный трехчлен? № 75. Разложите на множители многочлен: а) ab + 3b – 5a – 15; б) 2xy – y + 8x – 4. Ответ: а) (а + 3)(b – 5); б) (2х – 1)(у + 4). Дополнительный вопрос: какие способы разложения на множители использовали?

б) Фронтальный опрос. (Слайд 3 и 4). По щелчку мыши появляются ответы).

Проверь свои знания:

Дайте определение квадратного трехчлена. Многочлен вида ах2 + bх + c, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Как найти корни квадратного трехчлена? Приравнять к нулю и решить квадратное уравнение.

Сформулируйте теорему Виета для полного квадратного уравнения.

Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + c = 0, х1 + х2 = , х1 х2 =.

Что называют разложением многочлена на множители? Представление многочлена в виде произведения многочленов.

Какие способы разложения многочлена на множители вам известны?

Вынесение множителя за скобку; Способ группировки; Использование формул сокращенного умножения.

в) Проверим работу у доски. Ваши вопросы и выводы. (Оценить ответы).

III. Этап «закрытого» решения проблемы – использование известных способов решения

(Слайд 5) Решите уравнение х3 – 6х2  – 4х + 24 = 0. (ГИА 2012).

Но мы не умеем решать уравнения 3 степени. Как поступить? (Разложить на множители левую часть, а затем каждый множитель приравнять к нулю).

Каким способом будем разлагать на множители? (Способом группировки).

Все решают в тетради, один ученик решает у доски.  Ответ: -2; 2; 6. Проверяем на слайде.

IV. Этап «открытого» решения проблемы – возникновение проблемной ситуации, расширение области поиска новых решений

Рассмотрим задание № 11 из ГИА (2013 г.). Постройте график функции .

(Слайд 6). Возникает проблема: Мы понимаем, что было бы удобно разложить на множители числитель х2  – 5х + 6 и попробовать сократить дробь. Для этого надо разложить квадратный трехчлен на множители.

Но как? Можно ли сгруппировать или вынести общий множитель за скобку в нашем случае? (Нет).

Так как же разложить на множители квадратный трехчлен х2  – 5х + 6? Возможно ли это?

Какие будут предложения? ( А что, если сгруппировать?)

Но с чем? Должно быть, хотя бы 4 слагаемых. 

А давайте трехчлен преобразуем в четырехчлен.

Пробуем: х2 – х – 4х + 6 = 0.  А разве можно здесь сгруппировать и разложить на множители?

Еще попытки: х2 – 2х – 3х + 6 =  (х2 – 2х) – (3х  –  6) =х (х – 2) – 3(х – 2) = (х – 2)(х – 3).

Ура! Получилось!

Ребята, теперь можно сократить дробь. =

Получили у = 3 – х, где х ≠ 2. Какая линия будет графиком? (Прямая,  с выколотой точкой). Постройте график. (Слайд 7).

Вернемся к трехчлену х2  – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3). При каких значениях х он обращается в нуль? А что называют корнем трехчлена? (Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль).

Вывод: значит  2 и 3 корни этого трехчлена  (х1 = 2 и х2 = 3).

Посмотрите внимательно что представляют из себя множители? (Первый из них представляет разность между переменной х  и первым корнем трехчлена, а второй – разность между переменной х и вторым корнем).

Назовите старший коэффициент трехчлена? (а = 1). Давайте допишем множитель, равный а, т. е. 1, получаем  х2  – 5х + 6 = 1(х – 2)(х – 3).

Рассмотрим  еще один пример с учебника (стр. 24).

(Слайд 7). Разложить на множители 3х2 – 21х + 30 = 3(х2 – 7х + 10) = 3(х2 – 2х – 5х + 10) = = 3((х2 – 2х) – (5х – 10)) = 3(х(х – 2) – 5(х – 2)) = 3(х – 2)(х – 5).

V. Этап реализации найденного принципа – выдвижение гипотезы

Как вы думаете, можно ли разложить  трехчлен ах2 + bx + c на множители? Что для этого надо сделать?

Найти корни квадратного трехчлена, если они есть,

и составить произведение  а(х – х1)(х – х2).

Получим ах2 + bx + c  = а(х – х1)(х – х2). Это и есть наша гипотеза. Необходимо ее проверить. Для этого рассмотрим теорему о разложении квадратного трехчлена, имеющего корни, на множители.

VI. Этап проверки правильности полученного решения – доказательство гипотезы

Теорема

Если х1 и х2  - корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c, то ах2 + bx + c  = а(х – х1)(х – х2).

Доказательство (ученики делают самостоятельно под руководством учителя) (Слад 9).

ах2 + bx + c =   Так  как корни квадратного трехчлена ах2 + bx + c являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0, то по теореме Виета

.

Отсюда

Поэтому

ах2 + bx + c ==a(x2 – (x1+ x2 )x +x1  x2 ) = a(x2 – x1 x – x2 x + x1  x2 ) =

=a(x(x – x1 ) – x2 (x – x1 )) = a((x – x1 ) (x – x2 ), ч. т.д.

VII. Возникновение новой проблемной ситуации

А как поступить, если квадратный трехчлен не имеет корней? Можно ли его разложить на множители? Ваше мнение?

Попробуем в этом разобраться.

А что если пойти от противного? То есть предположить, что квадратный трехчлен можно представить в виде произведения многочленов первой степени:

ах2 + bx + c = (kx + m)(px + q), где k, m,  p, q – некоторые числа, причем k 0  и p 0.

Найдите, при каких х произведение  (kx + m)(px + q)= 0?

При   и 

Следовательно, при этих значениях х обращается в нуль и трехчлен ах2 + bx + c, то есть числа  и являются его корнями.

Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.

Вывод: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители.

VIII. Усвоение изученного

Выполнить задания № 76(а), 84(а), № 86 по учебнику.

IX. Итог:

Итак, что дает нам теорема о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни?

Она дает возможность, найдя корни трехчлена, разложить этот трехчлен на множители, и это используется при сокращении дробей.

Вернуться по ссылке на слайд 1.

Удалось ли вам убедиться в справедливости слов Пойа? Как вы их поняли для себя? (Высказывания учеников: «Только самостоятельное решение помогает что-то понять и сделать открытие», «Без размышления ум не развивается, потому что это будет шаблонное мышление, которое никому неинтересно»).

X. Домашнее задание:

Пункт 4 (прочитать примеры 1, 2, 3). Решить № 77(а, б) и № 84 (б).

Литература:

Алгебра. 9 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений  / [, , ] ; под редакцией . – 16 изд. – М.: Просвещение, 2009. ГИА-2012. Математика : типовые экзаменационные варианты :30 вариантов / под редакцией  . – М. : Национальное образование, 2001. Биографический словарь деятелей в области математики. , . Пер. с укр. – К.: Радянська школа. Демо версия ГИА математика.