Электромагнетизм. Модуль 1. Электростатика. Задачи. Для студентов факультета высоких технологий учебно-методическое пособие (стр. 4 )

3.35        Электростатическое поле создается положительным точечным зарядом. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля, если на расстоянии 10см от заряда потенциал равен 100В.

Ответ: 1кВ/м, направлен к заряду.

3.36        Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью 5нКл/м2. Определите числовое значение и направление градиента потенциала этого поля.

Ответ: 282В/м, направлен к плоскости.

3.37        Электростатическое поле создается бесконечной прямой нитью, заряженной равномерно с линейной плотностью 50пКл/см. Определите числовое значение и направление градиента потенциала в точке на расстоянии 0,5м от нити.

Ответ: 180В/м, направлен к нити.

3.38        Известно, что в трех «близких» точках 1, 2, 3 потенциалы - одинаковы, точки не лежат на одной прямой. Что можно сказать о направлении напряженности поля в окрестности этих точек?

3.39        На рис. 3 приведена картина линий поля . Изобразить эквипотенциальные кривые и указать направление вдоль линий поля, в котором потенциал возрастает.

Рисунок 3. Рисунок к задаче 3.39.

3.40        Изобразить качественно линии поля : 1) точечного заряда; 2) однородного электрического поля; 3) диполя. Для случаев 1) и 2) изобразить также эквипотенциальные поверхности.

3.41        Известно, что потенциалы двух близких параллельных эквипотенциальных плоскостей 1 и 2 равны 3В, 3,05В. Расстояние между плоскостями 0,5см. Указать направление и вычислить приближенное значение модуля напряженности поля Е между этими плоскостями.

3.42        Точечный заряд q>0 находится в начале координат. Построить графики зависимостей Ех(х) и ц(x): 1) для точек прямой у=а, лежащей в плоскости ху; 2) для точек oси х.

3.43        Найти напряженность поля, потенциал которого имеет вид: 1) φ(х, y)=-аху, а–постоянная, 2) φ()=-, –постоянный вектор, –радиус-вектор интересующей нас точки поля.

Ответ: 1) ; 2) .

3.44        Потенциал некоторого электрического поля имеет вид φ=α(ху–z2). Найти проекцию вектора на направление вектора в точке М(2, 1, -3).

Ответ:

3.45        Напряженность поля , где а, b, с — константы. Является ли это поле однородным? Найти его потенциал ц(х, у, z), положив ц(0,0,0)=0.

3.46        Найти напряженность поля, если потенциал ц=сr, где с — отрицательная константа, r — расстояние от начала координат до точки наблюдения. Изобразить эквипотенциальные поверхности и линии поля .

3.47        Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: φ=x2+y2+z2.  1) Что можно сказать о характере поля? 2) Найти модуль напряженности поля в точке (x, y, z).

Ответ: 1) Поле является центрально-симметричным. 2) .

3.48        Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид: φ(r, ϑ), где r— расстояние от начала координат, ϑ — полярный угол. 1) Что можно сказать о характере поля? 2) Найти модуль напряженности поля в точке (r, ϑ).

Ответ: 1) Поле является осесимметричным. 2) .

3.49        Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: ц=a(x2+y2)+bz2, где а и b — положительные константы. 1) Найти напряженность поля и ее модуль. 2) Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности? 3) Какую форму имеют поверхности, для которых E=const?

Ответ: 1) , E=2. 2) Эллипсоид вращения с полуосями: , , . 3) Эллипсоид вращения с полуосями: E/2a, E/2a, E/2b.

3.50        Потенциал поля, создаваемого некоторой системой зарядов, имеет вид: ц=a(x2+y2)-bz2, где а и b — положительные константы. Ответить на те же вопросы, что и в задаче 3.49.

Ответ: 1) , E=2. 2) При φ>0 - однополостный гиперболоид вращения, при φ=0 - прямой круговой конус, при φ0 - двуполостный гиперболоид вращения. 3) Эллипсоид вращения.

3.51        В вершинах правильного шестиугольника со стороной а помещаются точечные одинаковые по модулю заряды q. Найти потенциал φ и напряженность поля в центре шестиугольника при условии, что: 1) знак всех зарядов одинаков; 2) знаки соседних зарядов противоположны.

Ответ:  1) , E=0; 2) φ=0, Е=0.

3.52        Находящийся в вакууме очень тонкий прямой стержень длины 2l заряжен с одинаковой всюду линейной плотностью λ. Для точек, лежащих на прямой, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр, найти потенциал поля как функцию расстояния x от центра стержня. Исследовать случай x>>l.

Ответ: . При x>>l-поле точечного заряда: , (q - полный заряд стержня).

3.53        Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью σ.

Ответ: ,

3.54        По тонкому проволочному кольцу радиуса R равномерно распределен заряд q. 1) Приняв ось кольца за ось х, найти потенциал φ  на оси кольца как функцию х (начало отсчета х поместить в центр кольца). 2) Исследовать случаи: х=0 и >>R. 3) Построить примерные графики функций φ(x) и Ex(x).

Ответ: 1) . 2) Для x=0: ; для >>R: φ≈ (как для точечного заряда).

3.55        По круглой очень тонкой пластинке радиуса R равномерно распределен заряд  q. Приняв ось пластинки за ось x, найти φ и Ex для точек, лежащих на оси, как функции x; исследовать полученные выражения для >>R.

Ответ: , Ex=; при >>r - поле точечного заряда: φ=, E= .

3.56        Очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом а и внешним радиусом b. По пластинке равномерно распределен заряд q. Приняв ось пластинки за ось х, найти φ и Ex на оси пластинки как функции х. Исследовать случай >>b.