ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функция нескольких переменных, линия уровня и график функции 2х переменных. Предел и непрерывность функции 2-х переменных. Свойства непрерывных в замкнутых и ограниченных областях функций. Частные производные (ЧП) 1-го и более высокого порядков. Геометрический смысл ЧП. Дифференцируемость функции 2-х переменных. Связь дифференцируемости и непрерывности. Полный дифференциал и его применение в приближенных вычислениях. Касательная плоскость и нормаль к графику функции в точке. Производная сложной функции, производная функции, заданной неявно. Производная по направлению и градиент. Геометрический смысл градиента. Локальный экстремум. Необходимое условие. Достаточное условие экстремума. Схема исследования функции 2-х переменных на локальный экстремум. Пример. Глобальный экстремум. Схема исследования функции 2-х переменных на глобальный экстремум. Пример.12. Условный экстремум. Условие связи. Функция Лагранжа. Необходимое условие экстремума. Исследование функций 2-х переменных на условный экстремум с помощью функции Лагранжа. Примеры.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Плоские фигуры и их меры. Измеримые множества, примеры измеримых областей. Свойства меры.
2. Связное множество. Область Спрямляемая кривая, длина кривой. Квадрируемая фигура.
Правильные области.
3. Определение двойного интеграла и его свойства. Необходимое условие интегрируемости функции. Достаточное условие интегрируемости функции.
4. Повторные интегралы. Вычисление двойных интегралов сведение к повторному.
5. Замена переменных в двойном интеграле. Полярная замена координат.
6. Тройные интегралы. Измеримое (кубируемое) тело, примеры. Определение тройного интеграла и его свойства. Необходимое условие существования тройного интеграла. Достаточное условие.
7. Повторные интегралы. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрическая система координат. Сферическая система координат.
8. Приложения двойного и тройного интеграла: площадь плоской фигуры; вычисление объемов тел с помощью двойных интегралов; вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. Криволинейный интеграл первого рода: определение, необходимое и достаточное условие существования, свойства. Формула для вычисления криволинейных интегралов первого рода
2. Криволинейные интегралы второго рода. Определение и свойства. Формула для вычисления интеграла второго рода. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.
3. Потенциальное поле, потенциал поля 
. Необходимое и достаточное условие потенциаль-ности поля. Условие независимости криволинейного интеграла от пути. Следствие. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го родов.
4. Формула Грина. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ). Общее решение. Частное решение. Интегральная кривая. Дифференциальным уравнением 1-го порядка. Нормальная форма. Начальное условие. Задача Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. Геометрический смысл теоремы Коши. Геометрический смысл дифференциального уравнения 1-го порядка. ДУ первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные ДУ. Линейное ДУ первого порядка. Методы решения (Бернулли и вариации произвольной постоянной). Уравнение Бернулли. ДУ высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядков. ДУ n-ого порядка. Условие и задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков (ЛОДУ). Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Свойства решений ЛОДУ. Линейная зависимость функций. Примеры линейно независимых на отрезке систем функций. на
. Определитель Вронского. Необходимые условия линейной зависимости и линейной независимости решений ЛОДУ. Структура решений ЛОДУ. Фундаментальная система решений и вид общего решения ЛОДУ. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ). Вид общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод подбора. Система линейных ДУ с постоянными коэффициентами. Вид общего решения. РЯДЫ. РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Числовой ряд. Его сходимость и сумма числового ряда. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Геометрический и гармонический ряды.
2. Числовые ряды с положительными членами. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. Признаки сравнения: прямой и предельный, Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши. Эталонные ряды. Примеры.
3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Следствие (оценка погрешности вычисления суммы знакочередующегося ряда).
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость, признаки сходимости. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
5. Функциональный ряд. Сходимость в точке и равномерная сходимость на множестве. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Мажорируемость функционального ряда. Достаточный признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
6. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов. 7. Степенные ряды. Структура области сходимости степенного ряда (теорема Абеля). Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Теоремы Коши-Адамара и Даламбера.
8. Равномерная сходимость степенного ряда на отрезке внутри интервала сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда на интервале сходимости. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
9. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения. Формулы Тейлора для основных элементарных функций (
).Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
10. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.
11. Тригонометрический ряд. Ряд Фурье по основной тригонометрической системе. Коэффициенты Фурье для функции f(x). Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье . Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Ряды Фурье для функций любого периода. Разложения непериодической функции в ряд Фурье. Ортогональная система функций. Ортонормированная система функций. Ряд Фурье по ортогональной системе функций.
12. Интеграл Фурье в действительной и комплексной форме. Преобразование Фурье, синус - и косинус-преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Обратное преобразование Фурье.
