Четные и нечетные функции (стр. 2 )

Теорема 1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пусть - четная функция. Рассмотрим точку , принадлежащую графику функции  и имеющую абсциссу . Тогда ордината точки равна .  Нам нужно доказать, что точка , симметричная точке относительно оси ординат , также принадлежит графику функции . Точка имеет координаты . Она также принадлежит графику функции , так как ее координаты, ,  удовлетворяют уравнению . Это следует из четности функции  =.

Поскольку вместе с любой своей точкой график содержит также и симметричную ей относительно оси точку, то график четной функции симметричен относительно оси ординат (рис.2).

Из теоремы следует, что для построения графика четной функции достаточно построить часть графика этой функции для значений аргумента или . Оставшаяся часть графика получается в результате симметрии относительно оси уже  построенной части графика.

На рисунках 2a-2c приведены примеры графиков четных функций.

Отметим, что верным является и  утверждение, обратное к утверждению теоремы 1:

Если график функции симметричен относительно оси ординат, то функция является четной.

Действительно, если две точки графика и симметричны относительно оси , то  они имеют противоположные абсциссы, и , и равные ординаты, и . (рис.1). Это означает, что , то есть — четная функция.

Нечётные функции.

Определение. Функция называется нечётной, если выполнены следующие два условия:

если , то и для любого

Как и в случае четной функции, первое условие требует, чтобы область определения функции была симметрична относительно нуля. Второе условие означает, что в противоположных точках функция принимает противоположные значения.

Пример 5. Доказать, что является нечетной функцией.

Решение. Так как , то первое условие определения выполнено. Проверим выполнение второго условия определения нечетной функции: . Утверждение доказано.

Точно также доказывается нечетность функций , , то есть всех функций вида . Таким образом, если показатель степени – число нечетное, то и функция – нечетная.