Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

Четные и нечетные функции


Чётные функции.

Определение. Функция называется чётной, если выполнены следующие два условия:

если , то и для любого ,

Первое условие требует, чтобы область определения функции была симметрична относительно нуля. Поэтому, например, областью определения четной функции не может быть, отрезок , поскольку он не  симметричен относительно нуля. Действительно, точка   принадлежит отрезку, а противоположная точка, , не принадлежит. Заметим, что если , то условие 1 выполняется автоматически.

Второе условие определения означает, что в противоположных точках функция принимает равные значения.

Пример 1. Доказать, что является четной функцией.

Решение. Первое условие определения четной функции выполнено, поскольку . Проверим второе условие: . Оно также выполнено. Значит, функция четная.

Пример 2. Выяснить, является ли функция   четной.

Решение. Областью определения функции является луч . Так как область определения не симметрична относительно нуля, то функция не является четной.

Пример 3. Доказать, что является четной функцией.

Решение. Учитывая, что , проверяем выполнение второго условия определения четной функции: . Поскольку оно выполняется, то функция  – четная.

Аналогично доказывается четность функций , и всех функций вида . Если показатель степени – число четное, то и функция – четная.

Пример 4. Определить, является ли функция   четной.

Решение. В область  определения функции входят те значения , при которых знаменатель не равен нулю . Так как , то . Таким образом, область определения симметрична относительно нуля. Проверим выполнение равенства :

.

Значит, заданная функция – четная.

Пример 4. Доказать, что функция не является четной.

Решение. Область определения функции симметрична относительно нуля, так как . Поэтому, нужно доказать, что равенство не выполняется при некоторых значениях . Сделать это можно одним из двух способов:

найти хотя бы одно значение , такое, что . Можно взять, например, равным 1. Тогда , в то время как . Поэтому . найти все значения , для которых выполняется равенство, то есть решить уравнение Поэтому равенство выполняется только для одного, а не для всех значений .

Отметим, что наличие свойства четности  у функции существенно влияет на вид графика этой функции. Имеет место следующая теорема.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4