Четные и нечетные функции (стр. 3 )

Пример 6. Определить, является ли функция    нечетной.

Решение. Областью определения функции является вся числовая прямая, поэтому первое условие определения выполнено. Проверим выполнение второго условия, для чего сравним два выражения и :

.

Таким образом, равенство выполняется для всех значений и поэтому заданная функция является нечетной.

Для нечетных функций, так  же как и для четных, имеет место теорема, применение которой позволяет упростить построение графиков нечетных функций.

Теорема 2. График нечетной функции симметричен относительно центра координат.

Пусть - нечетная функция. Рассмотрим точку графика функции с абсциссой . Тогда ее ордината равна . Построим точку , симметричную точке относительно начала координат. Координаты точки противоположны координатам точки и равны

(рис.3). Точка также принадлежит графику функции , так как ее координаты, ,  удовлетворяют уравнению . Это следует из нечетности функции  =.

Таким образом, вместе с любой своей точкой график содержит также и точку, симметричную ей относительно центра координат. Это значит, что график нечетной функции симметричен относительно центра координат (рис.4).

Из теоремы следует, что график нечетной функции, так же как и график четной, удобно строить по частям. Сначала нужно построить ту часть графика нечетной функции, которая расположена правее, или, наоборот, левее оси . Вторую часть графика получают симметрией относительно центра координат уже построенной части графика.

Отметим, что на практике, для осуществления симметрии линии относительно центра координат, часто пользуются следующим приемом: сначала эту линию симметрично отражают относительно оси , а затем полученную линию симметрично отражают относительно оси (рис.5).

В итоге получается тот же результат, что и при симметрии линии относительно центра координат (рис. 6).

Утверждение, обратное к утверждению теоремы 2, тоже верно:

Если график функции симметричен относительно центра координат, то функция является нечетной.

Действительно, если две точки графика и симметричны относительно центра координат, то  они имеют противоположные абсциссы и противоположные ординаты (рис.3). Это означает, что , то есть является нечетной функцией.

Докажем, что множество значений любой нечетной функции симметрично относительно нуля. Пусть  , то есть  для некоторого значения .  Тогда в силу нечетности функции имеем . Последнее равенство означает, что и число    также принадлежит множеству значений функции и, значит, симметрично относительно нуля. Поэтому, например, отрезок может оказаться множеством значений какой-либо нечетной функции, а отрезок -нет.