Четные и нечетные функции (стр. 4 )

На рисунках 6a-6c приведены примеры графиков нечетных функций.

Отметим, что когда  ставится вопрос об исследовании функции на четность, то имеется в виду, что нужно ответить на два вопроса:

является ли данная функция четной? является ли данная функция нечетной?

Если оба ответа отрицательны, то говорят, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Пример. Исследовать на четность функцию

Решение. Так как область определения функции – вся числовая ось, то она симметрична относительно нуля. Поскольку , то  . Проверим, выполняется ли  для всех действительных чисел какое-либо из двух равенств (1), (2), то есть условие четности  или нечетности функции, соответственно.

равносильно ,  ,. Равенство (1) выполняется только при одном значении аргумента.  равносильно , ,. Равенство (2) также выполняется только при одном значении аргумента.

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Упражнения

Определите, может ли область определения четной или нечетной функции иметь вид:
Среди функций, определенных на множестве всех действительных чисел, найдите все функции, которые одновременно являются и четными и нечетными. Ответ. Среди линейных функций найдите все функции являющиеся а) четными; б)  нечетными Может ли множество значений нечетной функции иметь вид
Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Может ли оказаться, что .

Ответ: Нет, не может, так как .

При условии, что области определения функций совпадают, исследуйте на четность сумму, произведение и частное двух четных функций двух нечетных функций четной и нечетной функции Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции .  Сколько корней имеет уравнение ? Ответ: 5 Исследуйте на четность следующие функции
На рисунке изображена часть графика функции , расположенная правее оси ординат, при этом   . Нарисуйте график функции , если известно, что она является a) четной, b) нечетной.

Дополнительные задания

Существуют ли функции, определенные на множестве всех действительных чисел, которые одновременно являются

а) четными и возрастающими;

б) нечетными и убывающими;

в) нечетными и положительными?

Ответ. a) нет б) да в) нет.

При каком значении функция является а) четной, б) нечетной

Ответ. a) б)

Пусть - произвольная функция, область определения которой симметрична относительно нуля. Докажите, что функция   является четной; функция   является нечетной; функцию можно представить в виде суммы четной и нечетной функций, причем сделать это можно единственным образом.