Задания по алгебре №2 для 9 класса. Учитель

Методика решения квадратных неравенств

Если в левой части неравенства стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль, то такое неравенство называется квадратным. Например, неравенства 2х2 + 3х  - 1 ≥ 0, -3х2  +4х +5 ≤ 0 являются квадратными.

Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Рассмотрим три способа решения квадратных неравенств.

1 способ (системный).

Для решения  неравенства этим способом нужно:

определить корни соответствующего квадратного уравнения; разложить неравенство на множители; составить и решить две системы линейных неравенств.

Задача 1. Решить неравенство  х2 - 5х + 6 ≥ 0.

Решение:

Квадратное уравнение  х2 – 5х + 6 = 0 имеет два корня  х = 2, х = 3. Следовательно, левую часть неравенства можно разложить на множители и  записать так:

(х - 2)(х - 3) ≥ 0.

Произведение двух множителей неотрицательно, если они имеют одинаковые знаки.

Рассмотрим случай, когда х – 2 ≥ 0 и  х – 3 ≥ 0. Эти два неравенства образуют систему:

Решая систему, получаем х ≥ 3.

Рассмотрим случай, когда х – 2 ≤ 0 и х – 3 ≤ 0. Эти два неравенства образуют систему:

  Решая систему, получаем х ≤ 2.

Итак, все  числа х ≥ 3, а также числа х ≤ 2 являются решениями неравенства (х - 2)(х - 3) ≥ 0, а значит и исходного неравенства х2 - 5х + 6 ≥ 0.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Ответ: х ≤ 2,  х ≥ 3.

Задача 2. Решить неравенство  -3х2 - 5х +2 ≥ 0.

Чтобы удобнее проводить вычисления, представим данное неравенство с положительным первым коэффициентом. Для этого умножим обе части неравенства на (– 1):

3х2 + 5х – 2 ≤ 0. Найдем корни уравнения 3х2 + 5х – 2 = 0: х1 = - 2, х2 = .

Разложив квадратный  трехчлен  на множители, получим:

3( х - ) (х + 2) ≤ 0.

Отсюда получаем две системы:    (1)

    (2)

Первую систему можно записать так:  откуда  видно, что она не имеет решений.

Решая вторую систему, находим:

откуда  -2 ≤ х ≤

Отсюда следует, что решениями неравенства -3х2 - 5х + 2≥0, являются все числа отрезка .

Ответ:-2 ≤ х ≤

2 способ (графический).

Для решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции нужно:

1) определить направление ветвей параболы по знаку первого коэффициента;

2) найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения или установить, что их нет;

3) Построить эскиз графика и по нему определить промежутки, где функция принимает нужные значения.

Задача 3. Решить  неравенство 2х2 – х – 1 ≤ 0 с помощью эскиза графика.

График функции у = 2х2 – х - 1  - парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем точки пересечения этой параболы с осью Ох. Для этого решим квадратное уравнение 2х2 – х – 1 = 0.  х1 =  1, х2 = - . Следовательно, парабола пересекает ось Ох в  точках х = 1  и х = -0,5  (см.  рис.1).

Неравенству  2х2 – х – 1 ≤ 0 удовлетворяют те значения х, при которых значения функции равны нулю или отрицательны, т. е. те значения х, при которых точки параболы лежат на оси Ох или ниже этой оси. Из рисунка видно, что этими значениями являются все числа из отрезка .

Ответ  -0,5 ≤ х ≤ 1.

Задача 4. Решить неравенство х2 + 3х + 8 > 0. Графиком функции у = х2 + 3х + 8 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решим уравнение Д = 9 – 32= -23 < 0, следовательно это уравнение корней не имеет. Поэтому парабола (см. рис.2) не имеет общих точек с осью Ох.  Значит у > 0 при любом значении х.

Ответ: х - любое действительное число.

Задача 5. Решить неравенство Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Решим уравнение или Корни этого уравнения х1 = -1; х2 = 2. Построив схематически параболу (см. рис.3), найдем, что у < 0 в каждом из промежутков: (-;-1),(2;+).

Ответ: х < -1, х > 2.

3способ (метод интервалов).

Этот метод основан на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 и между этими точками не имеет других корней, то в промежутке (х1; х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции поступают так: на координатной прямой отмечают все точки, в которых функция обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают координатную прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти  знак функции в какой-либо точке рассматриваемого промежутка координатной прямой. Изменение знаков функции удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которую чертят справа налево. На промежутках, где кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство у(х) > 0; на тех же промежутках, где кривая проходит ниже, выполняется неравенство у(х) < 0.

Задача 6. Решить неравенство

Рассмотрим функцию нули функции х = -3, х = -2. Определим знаки функции на промежутках (-;-3),  (-3;-2), (-2;) с помощью пробных точек у(-5) > 0, у(-2,5) < 0, у(0) > 0 (см. рис.4).

Задача 7. Решить неравенство х = 1 - нуль соответствующей функции, при х = -1 функция неопределена. Нанесем эти точки на координатную прямую (см. рис.5) и исследуем полученные промежутки с помощью пробных точек.

Ответ: (-1;1).

Задача 8. Решить неравенство Нули соответствующей функции числа -4 и 2. Нанесем их на координатную прямую и исследуем знаки функции на полученных промежутках (см. рис.6).

При переходе через точку 2 знак функции не поменялся, так как множителей (х-2) - четное число и при переходе через точку х=2 знак произведения не будет меняться. Это следует учитывать при решении целых неравенств методом интервалов

Задача 9. Найдите область определения выражения.

Выражение имеет смысл, если знаменатель дроби отличен от нуля и подкоренное выражение, стоящее в числителе дроби – неотрицательное число. Тогда приходим к системе двух условий

Ответ:

Дидактический материал

Решить  неравенства  с  помощью  эскиза  графика:

1) х2 + 4х + 4 ≥ 0;  2) 3х - х2 – 4 < 0;  3) 2х(х - 1) < 3(х +1).

Решить  неравенства методом интервалов:

4)  х2 - 5х ≥ 0  (указание разложить на множители левую часть неравенства);

5)≥ 0;  6)(х - 3)2 (х2 - 25) ≥ 0;  7) > 0.  8)

9) .Укажите количество целочисленных решений неравенства

10) Найдите область определения выражения

11) Найдите целые решения системы неравенств