2 способ. Используя правило умножения, получаем: 5х5=25

5. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:

№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5 вариантов (стульев)
№2 - Петя - 4 варианта
№3- Денис - 3 варианта
№4- Оля - 2 варианта
№5 - Настя - 1 вариант

Используя правило умножения, получаем: 5х4х3х2х1=120

2 способ. Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:

11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,
11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д

Ответ: 10 пар.

2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

7. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.
Получаем следующие пары:
В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.

Ответ: 6 пар.

2) Горячкина Ольга по теме «Случайные, невозможные, достоверные события. Классическое определение вероятностей событий»:

Основные определения ~ Действия со случайными событиями ~ Вероятность события. Аксиоматическое определение вероятности ~ Вероятность события. Классическое определение вероятности ~ Вероятность суммы событий ~ Вероятность произведения событий. Условная вероятность. Независимые события ~ Формула полной вероятности. Формулы Байеса

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Основные определения. Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий Ω (элементарное событие соответствует элементарному исходу).

Случайными событиями (событиями), будем называть подмножества пространства элементарных событий Ω .

Пример 1. Подбросим монету один раз. Монета может упасть цифрой вверх - элементарное событие ω ц (или ω 1), или гербом - элементарное событие ω Г (или ω 2). Соответствующее пространство элементарных событий Ω состоит из двух элементарных событий:

Ω = {ω ц,ω Г } или Ω = {ω 1,ω 2}.

Пример 2. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6}, где ω i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {ω 2,ω 4,ω 6}, AΩ .

Пример 3. На отрезке [0, 1] наугад (случайно) поставлена точка. Измеряется расстояние точки от левого конца отрезка. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = [0, 1] - множество действительных чисел на единичном отрезке.

В более точных, формальных терминах элементарные события и пространство элементарных событий описывают следующим образом.

Пространством элементарных событий называют произвольное множество Ω, Ω ={ω}. Элементы ω этого множества Ω называют элементарными событиями.

Понятия элементарное событие, событие, пространство элементарных событий, являются первоначальными понятиями теории вероятностей. Невозможно привести более конкретное описание пространства элементарных событий. Для описания каждой реальной модели выбирается соответствующее пространство Ω.

Событие Ω называется достоверным событием.

Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.

Пример 4. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т. е. Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5, ω 6}, где ω i - выпадение i очков, - достоверное событие.

Невозможным событием называется пустое множество .

Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.

Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда.

Пример 5. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .

Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается , .

Пример 6. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь Ω = {ω 1, ω 2, ω 3,ω 4, ω 5,ω 6}, где ω i - выпадение i очков, A = {ω 2,ω 4,ω 6}, = .

Несовместными событиями называются события A и B, для которых A B = .

Пример 7. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, событие B - выпадение числа очков, меньшего двух. Событие AB состоит в выпадении четного числа очков, меньшего двух. Это невозможно, A = {ω 2,ω 4,ω 6}, B = {ω 1}, AB = , т. е. события A и B - несовместны.

Яковлев Антон по теме  «Решение задач по теории вероятностей»:

Основные понятия.

Равновероятные возможности - возможности, исполнение которых одинаковы. Например, возможность выпадения «орла» или «решки» при подбрасывании одной монеты.

Вероятность события Р равна дроби, знаменатель которой – число всех равновероятных исходов, а числитель – число тех из них, при которых это событие происходит.

Пример 1. В коробке 3 черных и 4 белых шара. Из неё наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет: 1) черным; 2) белым?

Решение. Так как в коробке всего 3+4=7 шаров, то есть всего 7 равновероятных возможностей вынуть шар из коробки. В трех из них вынутый шар окажется черным, поскольку в коробке 3 черных шара. Значит, вероятность того, что вынутый шар черный 3/7, а что белый 4/7.

Ответ: а)Рч= 3/7 ; б) Рб= 4/7.

Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости выпадает число очков, больше 4?

Решение. Число очков, больше 4, это – 5 и 6. Значит, интересующее нас событие происходит в двух из шести равновероятных исходов бросания игральной кости.

Р= 2/6 =1/3

Ответ: 1/3.

Пример 3 Телевизор у Марины сломался и показывает только один случайный канал. Марина включает телевизор. В это время по шести каналам из тридцати девяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Марина попадет на канал, где новости не идут.

Решение. Найдем количество каналов. по которым в это время новости не идут

39 – 6 = 33.

Значит, вероятность того, что Марина попадет на канал, где новости не идут равна

Р= 33/39 =11/13

Ответ: 11/13

Пример 4. Женя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 52.

Решение. Для решения задачи необходимо знать количество трехзначных чисел и количество трехзначных чисел, делящихся на 52. Самое большое трехзначное число 999, самое маленькое – 100. Следовательно, всего трехзначных чисел 999 – 99 =900.

Если число делится на 52, то оно может быть представлено как 52n, где n – натуральное число. Определим количество всех чисел до 1000, которые делятся на 52. Для этого разделим 999 на 52. Получим

999/52=19*(11/52).

Следовательно, таких чисел – 19. Определим количество не трехзначных чисел, которые делятся на 52. Для этого разделим 99 на 52. Получим

99/52=47/52.

Следовательно, таких чисел – 1. Значит, количество трехзначных чисел, которые делятся на 52 равно 19 – 1 =18. Вероятность того, что выбранное трехзначное число делятся на 52

Р= 18/900= 1/50.

Ответ: 1/50.

Хомуткова Софья  по теме «Классификация событий»:

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

В главе рассматриваются:

- классификация событий;

- классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности;

- непосредственное вычисление вероятностей;

- действия над событиями;

- теоремы сложения и умножения вероятностей;

- формула Байеса.

Типовые задачи

Пример 1.1

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:

а) только 2-й экзамен;

б) только один экзамен;

в) три экзамена;

г) по крайней мере два экзамена;

д) хотя бы один экзамен.

Решение

а) Обозначим события: Ai – студент сдаст i-й экзамен (i = 1, 2, 3);

В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех.

Очевидно, что В = , т. е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события A1, А2, А3 независимы, получим



б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т. е.



в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т. е. D =
A1
A2
A3. Тогда



г) Пусть событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе: «хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т. е.

и



д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не менее одного» экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т. е. F = А1 + А2 + А3 = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F = , т. е. применить формулу (1.27).

Итак,



т. е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

Пример 1.2

Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента К1 или одновременный выход из строя двух элементов – К2 и К3. Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность разрыва электрической цепи?

Решение

Обозначим события: Ai - выход из строя элемента Ki (
i - 1, 2, 3…);

B – разрыв электрической цепи.

Очевидно, по условию событие B произойдет, если произой­дет либо событие А1, либо A2A3, т. е. B = А1 + А2А3. Теперь, по формуле (1.25)







(при использовании теоремы умножения учли независимость событий A1,
A2 и А3).
Пример 1.3

Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Из нерассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что: а) одна из них обработана на 3-м станке;

б) обе обработаны на одном станке?

Решение

а) Обозначим события: Ai – деталь обработана на i-м станке (i = 1, 2, 3);

В – одна из двух взятых деталей обработана на 3-м станке.

По условию , , .

Очевидно, что B=
A1
A3+
A2
A3+
A3
A1+
A3
A2 (при этом надо учесть, что либо первая деталь обработана на 3-м станке, либо вторая). По теоремам сложения и умножения (для независимых событий)





б) Пусть событие С – обе отобранные детали обработаны на одном станке. Тогда

C=
A1
A1+
A2
A2+
A3
A3 и P(C) = 0,1*0,1 + 0,3*0,3 + 0,6*0,6 = 0,46.
Пример 1.4

Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов – по 2 вопроса из 20 по каждой из пяти тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из пяти тем в билете?

Решение

Обозначим события: А1, А2 – студент подготовил 1-й, 2-й вопросы билета по каждой теме;

Bi – студент подготовил хотя бы один вопрос билета из двух по i-й теме (i = 1, 2, ..., 5);

С – студент сдал экзамен.

В силу условия С = В1В2В3В4
B5. Полагая ответы студента по разным темам независимыми, по теореме умножения вероятностей (1.24)


Так как вероятности Р(В
i) (i=1,2,..., 5) равны, то P(C) = (Р(В
i))5. Вероятность Р(В
i) можно найти по формуле (1.27) (или (1.25)):



Теперь P(C) = 0,7635 = 0,259
Пример 1.5

При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что:

а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания;

б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более трех раз.

Решение

а) Обозначим события: А – двигатель начнет работать при каждом включении зажи­гания;

В – то же при третьем включении зажигания.

Очевидно, что В= и Р(В) = = 0,4*0,4*0,6 = 0,096.

б) Пусть событие С – для запуска двигателя придется вклю­чать зажигание не более трех раз. Очевидно, событие С наступит, если двигатель начнет работать при 1-м включении, или при 2-м, или при 3-м включении, т. е. С = А + АА + А АА. Следовательно,

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3