Яковлев Алексей по теме «Геометрические вероятностей событий»:

1. Понятие геометрической вероятности

Приписывание событию некоторого числа (его вероятности) является аналогом измерения. В тех случаях, когда поле исходов события бесконечно, естественно связать определение вероятности с геометрией. Например, при случайном выборе точки в круге, разделенном на несколько колец, вероятностью попадания в заданное кольцо естественно считать долю, которую занимает площадь выбранного кольца по отношению к площади всего круга. В примере о том, дождется ли пассажир автобуса, если у него ограничено время ожидания, на первый взгляд, неясно, как определить вероятность этого события. Один из возможных путей состоит в том, чтобы построить некоторую геометрическую модель и связать вероятность с геометрическими измерениями.

Например, если по оси отложить интервал времени между двумя приходами автобуса на остановку, а по оси интервал времени, в течение которого может появиться на остановке пассажир, например, то точки с координатами где x – момент появления автобуса на остановке, y – момент появления пассажира, заполнят прямоугольник со сторонами и и площадью Очевидно, что пассажир дождется автобуса, если автобус появится на остановке после появления там пассажира и не более чем через 5 минут после его прихода (время ожидания пассажиром автобуса), следовательно, должно выполняться неравенство: Теперь осталось выяснить, какую часть прямоугольника заполнят точки, координаты которых удовлетворяют этому неравенству.

Пусть некоторая плоская фигура разбита на несколько непересекающихся частей. Рассмотрим испытание – выбор точки в этой фигуре. Возможными исходами будем считать попадание точки в одну из этих частей. Каждому такому исходу можно приписать вероятность, равную отношению площади части, в которой находится точка, к площади всей фигуры.
Аналогичные определения можно дать для вероятностей попадания точки в заданную часть данного отрезка прямой (или кривой линии), определенную с помощью измерения длины или – для случая пространственной фигуры – с помощью измерения объема.

2. Примеры вычисления геометрической вероятности

1. В квадратном трехчлене x2 + 6x + a коэффициент а по модулю не больше 10. Он выбирается наудачу. Какова вероятность того, что трехчлен будет иметь вещественные корни?
Дискриминант d этого трехчлена равен 32 – a = 9 – a. Условие вещественности корней: d 0 a 9. На отрезке [–10; 10], длина которого равна 2 0, «благоприятные» значения а занимают отрезок [–10; 9], длина которого 19. Интересующему нас событию следует приписать вероятность

2. В круге произвольно выбирается точка. Какова вероятность того, что ее расстояние до центра круга больше половины?
Построим две концентрические окружности радиуса R и Площадь маленького круга равна площади большого, а площадь кольца между ними – площади большого. Вероятность попадания точки в кольцо следует принять равной

Заметим, что мы игнорируем границы наших областей. Если вероятность мы измеряем площадью, то вероятность попадания точки на границу области равна нулю, так как площадь границы должна быть нулевой.

3. Построение вероятностной модели.

Часто в приложениях для определения вероятности события приходится строить геометрическую модель и изображать событие точками геометрической фигуры.

Палку ломают случайным образом в двух точках. Какова вероятность того, что из трех получившихся кусков можно составить треугольник?
Построение модели. Пусть длина палки равна 1. Можно сказать, что на единичном отрезке выбирают две точки x и y. Случайное событие выбора пары точек можно изобразить точкой в единичном квадрате на плоскости xOy. Условие того, что из получившихся отрезков можно сложить треугольник, можно записать в виде серии неравенств (будем сразу считать, что x и y обозначены так, что x < y).
Эти условия таковы:
1) x + y – x > 1 – y
2) x + 1 – y > y – x
3) y – x + 1 – y > x
Построим область в единичном квадрате, для точек которой выполняются все написанные условия. Мы получим треугольник, площадь которого, как нетрудно проверить, равна Искомая вероятность равна отношению

Городкова Анна по теме «Математическая статистика, частота, кратность, полигон кратности, гистограмма частоты»:

Задачи математической статистики

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

“Статистика знает все” – такими словами начинается вторая часть романа И. Ильфа и Е. Петрова “Двенадцать стульев”. “Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики… Известно, сколько в стране охотников, балерин… станков, собак всех пород, велосипедов, памятников, девушек, маяков и швейных машинок.

Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!” Зачем нужны эти таблицы, как их составлять и обрабатывать, какие выводы на их основании можно делать – на эти вопросы отвечает статистика (от итальянского stato – государство, латинского status – состояние).

Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности. Можно выделить две основные задачи математической статистики:

Указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате поставленных экспериментов. Разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. В связи с этим проводится: оценка: неизвестной вероятности события, неизвестной функции распределения, параметров распределения, зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин. проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения.

Итак, задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

2. Генеральная и выборочная совокупности

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью (ГС) называют совокупность объектов, из которых произведена выборка.

Объем совокупности – число объектов этой совокупности.

Например: из 1000 деталей отбирается 100, тогда Vг. с. = 1000, Vв. с. = 100.

3. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка

При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. В первом случае выборку называют повторной, во втором – бесповторной. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности – быть репрезентативной (представительной).

4. Способы отбора

Отбор, не требующий расчленения ГС на части:

Отбор, при котором ГС расчленяется на части:

простой случайный бесповторный отбор;
простой случайный повторный отбор.

типический отбор;
механический отбор;
серийный отбор.

5. Статистическое распределение выборки

1. Пусть в результате проведения некоторого эксперимента была получена выборка х1, х2, х3... хn.

Если все xi различны, то, расположив их в порядке возрастания, получим вариационный ряд.

●  Создание диаграмм с помощью Мастера диаграмм. Для создания диаграмм в программе Excel существует Мастер диаграмм. Это средство состоит из набора интерактивных диалоговых окон, которые проведут через весь процесс построения необходимой диаграммы. Технологию построения диаграммы проследим на примере следующей задачи:

Давайте представим себя менеджерами фирмы по продаже фотопленки. Ежедневно вы подводите итоги продаж и планируете объем заказа на складе.
Подготовим таблицу по приведенному ниже образцу и заполним её по своему усмотрению (внесите количество проданных пленок каждого вида)
Для лучшей наглядности данные в таблице лучше всего изобразить в виде диаграммы.

●  Для создания диаграммы выполняют следующие действия:

●  Выделите область данных для построения диаграммы и нажмите кнопку Мастера диаграмм

●  Выберите нужный вам тип диаграммы и нажмите кнопку Далее

●  Перейдите на вкладку Ряд и в поле Подписи категорий укажите столбец, содержащий категории оценок. Нажмите кнопку Далее.

●  На вкладке Заголовки укажите название диаграммы, на вкладке Подписи данных выберите пункт Категория и доля и нажмите кнопку Далее.

●  Укажите лист на котором вы размещаете диаграмму и нажмите кнопку Готово.

Редактирование диаграммы. Если построенная Мастером диаграмма нуждается в доработке или исправлениях, их можно внести, вызвав Контекстное меню для форматируемого элемента и выбрав соответствующую команду.


    Подведение итогов.

Что узнали?

    Что такое математическая статистика. Что изучает теория вероятностей. Виды событий. Историческую справку. Перестановки. Вероятность. Равновозможные события.

Предлагаю вам написать синквейн.

1 стр. - название темы (новый предмет).

2 стр. - 2 прилагательных, отражающих свойство предмета.

3 стр. - 3 глагола, описывающие действия объекта.

4 стр. - предложение из 4 слов, выражающих отношение автора к теме.

5 стр. - синоним к первой.

Самоанализ урока

Курс: основы теории вероятностей и математической статистики.

Класс: 11-й, естественно-научное направление.

Тема урока: Введение в теорию вероятностей и комбинаторику.

Данный урок является вводным в изучаемый курс, не требует специальных знаний.

Цели урока:

Получение представлений об изучаемом предмете, его основных понятиях.

1. Обеспечение в ходе урока усвоение следующих основных понятий: события, их виды, вероятность.

2. Создание условий для формирования основных мировоззренческих идей: причинно - следственных связей, вероятностно - статистического мышления.

3. Развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач и примеров.

Тип урока: лекция-беседа.

Эта форма проведения урока целесообразна при:

- изучении нового материала, мало связанного с ранее изученным, вводных уроках.

Лекция строится на сочетании этапов урока:

    организации; постановки цели; сообщении знаний учителем и усвоении их учащимися; определении домашнего задания.

Методы, используемые на уроке: словесный, индуктивный.

Так как урок вводный в данный курс, то мною предусматривалась подача материала с элементами занимательности, историческими справками. Рационально распределено время на всех этапах урока. Темп урока соответствовал уровню развития и подготовленности учащихся.

Мною задумывался диалог между учителем и учащимися, так как класс достаточно сильный и знаком мне по посещенным зачетам, замещению уроков.

Урок способствовал формированию основных мировоззренческих идей, вероятностно-статистического мышления, умения выделять межпредметные связи.

Содержание урока способствовало развитию интереса к учению, о чем свидетельствует рефлексивный этап урока.

Учащиеся на уроке проявляли активность, самостоятельно приходили к выводу.

Цели, поставленные на уроке, достигнуты.


Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3