МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
БАЛТИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. КАНТА
ИНСТИТУТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
«УТВЕРЖДАЮ» Директор института физико-математических наук и информационных технологий ___________________ «____» _____________ 2017 г. | «СОГЛАСОВАНО»
| |||
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ
ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
по образовательной программе высшего образования – программе подготовки
научно-педагогических кадров в аспирантуре
Направление подготовки 01.06.01 «Математика и механика»
Направленность программы «Математическая физика»
Калининград
2017
Настоящая программа разработана для поступающих в аспирантуру на направление подготовки 01.06.01 «Математика и механика», направленность программы «Математическая физика».
Программа вступительного испытания сформирована на основе федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по программе магистратуры 03.04.02 «Физика»
Целью вступительного испытания является оценка базовых знаний поступающих в аспирантуру с точки зрения их достаточности для проведения научно-исследовательской деятельности по направлению подготовки 01.06.01 «Математика и механика».
Вступительное испытание по специальной дисциплине направленности программы «Математическая физика» направления подготовки 01.06.01 «Математика и механика» проводится на русском языке по билетам в письменной форме. Экзаменационный билет включает 2 вопроса из предлагаемого перечня.
Содержание программы
Раздел 1. Математический и функциональный анализ
Мера и измеримые функции. Интеграл Лебега и его сравнение с интегралом Римана. Теорема Егорова. Теорема Фубини. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла. Пространства Lp. Разложения по ортогональным системам функций в L2. Ряды и преобразования Фурье. Теорема Планшереля. Метрические и топологические пространства. Компактность. Непрерывные функции на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Связность.Раздел 2. Комплексный анализ
Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип максимума модуля. Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана. Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана. Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента и теорема Руше. Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля.Раздел 3. Дифференциальные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные системы решений. Метод вариации постоянных. Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина. Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Асимптотическая устойчивость. Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера-Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона. Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема Гильберта-Шмидта. Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема Коши-Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения переменных. Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции. Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и разложения по собственным функциям. Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности. Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши.Раздел 4. Теория вероятностей
Раздел 5. Механика
Уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Теорема Нетер и законы сохранения. Одномерное движение. Движение в центральном поле. Свободные и вынужденные колебания. Колебания при наличии трения. Движение твердого тела. Угловая скорость, моменты инерции и количества движения. Уравнения Эйлера. Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона-Якоби.Раздел 6. Теория поля
Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал. Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и импульс. Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля. Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса. Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в электромагнитном поле. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские и монохроматические волны. Спектральное разложение. Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление. Принцип взаимности. Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн. Поле системы зарядов на далеких расстояниях.Раздел 7. Механика и электродинамика сплошных сред
1. Уравнения движения идеальной жидкости (уравнения непрерывности,
уравнение Эйлера).
2. Уравнения движения вязкой жидкости. Диссипация энергии в несжимаемой жидкости. Система уравнений Навье-Стокса.
Звук и звуковые волны. Электростатика проводников. Электростатика диэлектриков. Диэлектрическая проницаемость. Постоянный ток. Плотность тока и проводимость. Постоянное магнитное поле. Магнитное поле постоянного тока.Раздел 8. Квантовая механика.
Основные положения квантовой механики. Принцип неопределенности и принцип суперпозиции. Квантовомеханическое описание системы. Квантование. Представление Фока. Координатное и импульсное представления. Операторы энергии и импульса. Гамильтониан. Уравнение Гейзенберга. Соотношение неопределенности. Уравнение Шредингера. Одномерное движение и одномерный осциллятор. Потенциальная яма. Прохождение через барьер. Движение в центральном поле. Атом водорода. Разложение плоской волны. Уравнение Дирака. Спин Тождественность частиц и принцип неразличимости. Связь спина со статистикой. Бозоны и фермионы. Атом. Состояния электронов и уровни энергии. Тонкая структура атомных уровней. Периодическая система Менделеева.Раздел 9. Статистическая физика
Основные принципы статистики. Статистическое распределение и статистическая независимость. Теория Лиувилля. Энтропия. Закон возрастания энтропии. Термодинамические величины: температура, давление. Адиабатический процесс. Работа и количество теплоты, термодинамический потенциал. Принцип Ле-Шателье, теорема Нернста. Распределение Гиббса. Свободная энергия. Термодинамические соотношения. Термодинамика идеальных газов. Распределение Больцмана. Неравновесный идеальный газ. Свободная энергия и уравнение состояния. Закон равнораспределения. Одноатомный идеальный газ.Критерии оценки уровня знаний
Оценка знаний поступающего в аспирантуру производится по 100-балльной шкале.
86-100 баллов выставляется экзаменационной комиссией за обстоятельный и обоснованный ответ на все вопросы экзаменационного билета и дополнительные вопросы членов экзаменационной комиссии. Поступающий в аспирантуру в процессе ответа на вопросы экзаменационного билета правильно определяет основные понятия, свободно ориентируется в теоретическом и практическом материале по предложенной тематике. Экзаменуемый показывает всестороннее, систематическое и глубокое знание основного и дополнительного материала, усвоил рекомендованную литературу; может объяснить взаимосвязь основных понятий; проявляет творческие способности в понимании и изложении материала.
66-85 баллов выставляется поступающему в аспирантуру за правильные и достаточно полные ответы на вопросы экзаменационного билета, которые не содержат грубых ошибок и неточностей в трактовке основных понятий и категорий, но в процессе ответа возникли определенные затруднения при ответе на дополнительные вопросы членов экзаменационной комиссии. Экзаменуемый показывает достаточный уровень знаний в пределах основного материала; усвоил литературу, рекомендованную в программе; способен объяснить взаимосвязь основных понятий при дополнительных вопросах экзаменатора. Допускает несущественные погрешности в ответах.
50-65 баллов выставляется поступающему в аспирантуру при недостаточно полном и обоснованном ответе на вопросы экзаменационного билета и при возникновении серьезных затруднений при ответе на дополнительные вопросы членов экзаменационной комиссии. Экзаменуемый показывает знания основного материала в минимальном объеме, знаком с литературой, рекомендованной программой. Допускает существенные погрешности в ответах, но обладает необходимыми знаниями для их устранения под руководством экзаменатора.
0-49 баллов выставляется в случае отсутствия необходимых для ответа на вопросы экзаменационного билета теоретических и практических знаний. Экзаменуемый показывает пробелы в знаниях основного материала, допускает принципиальные ошибки в ответах, не знаком с рекомендованной литературой, не может исправить допущенные ошибки самостоятельно.
Основная и дополнительная литература
Основная литература
Математический анализ: учеб. для бакалавров вузов/ , , Бл. Х. Сендов. - М.: Юрайт. Ч. 2. - 3-е изд.. - 2013. - 309 с. - (Бакалавр. Углубленный курс). Теория функций комплексного переменного: учеб. для вузов/ , . - Москва: Бином. Лаб. знаний, 2013. - 246, [1] с. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными: учеб. для вузов/ , , . - М.: ВЛАДОС, 2011. - 376 с.: ил. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для вузов/ , , . - 2-е изд., испр. и перераб.. - М.: Форум, 2011, 2008. - 239 с.: ил. Теоретическая механика: учеб. для вузов/ , . - 2-е изд., перераб. . - М.: Академия, 2011. - 317, [1] с. Курс общей физики: в 3 кн. : учеб. для бакалавров/ , , . - 2-е изд.. - М.: Юрайт, 2013 - 2013. Кн. 2: Электромагнетизм. Оптика. Квантовая физика. - 439, [2] с. Курс общей физики: в 3 кн.: учеб. для бакалавров/ , , . - 2-е изд.. - М.: Юрайт, 2013. Кн. 3: Термодинамика. Статистическая физика. Строение вещества.Дополнительная литература
Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов : в 10 т./ ; , ; под ред. . - М.: Физматлит, 2001 - Т. 1: Механика. - 5-е изд., стер.. - 222 с. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов : в 10 т./ ; , ; под ред. . - М.: Физматлит, 2001 - Т. 2: Теория поля. - 533 с.: ил. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов : в 10 т./ ; , ; под ред. . - М.: Физматлит, 2001 - Т. 3: Квантовая механика. Нерелятивистская теория. - 5-е изд., стер.. - 803 с. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов : в 10 т./ ; , ; под ред. . - М.: Физматлит, 2001 - Т. 5: Статистическая физика. ч. 1. - 5-е изд., стер.. - 616 с. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов : в 10 т./ ; , ; под ред. . - М.: Физматлит, 2001 - Т. 8: Электродинамика сплошных сред. - 651 с.