Сборник для подготовки к государственной итоговой аттестации по математике

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №37 г. Томска

Сборник для подготовки к государственной итоговой аттестации по математике.

Модуль: геометрия.

Тема: треугольник.

Выполнила: Гофман Наталья,

ученица 10А класса МАОУ СОШ №37

Руководитель: , учитель математики высшей категории.

ТОМСК – 2014

Замечательные точки и линии треугольника.

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. АC – медиана треугольника АВС. При вычислении медиана обычно обозначается М.

Свойства медианы треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая находится внутри треугольника (центр масс). Каждая медиана точкой пересечения медиан делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (одинаковой площади). Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Сумма квадратов длин всех медиан треугольника равняется ѕ суммы квадратов длин его сторон. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Формулы для вычисления длины медианы.

Задача 1.

Медианы треугольника, проведенные из вершин В и С, равны 6 и 9 и пересекаются в точке M.  Известно, что . Найдите стороны треугольника.

Решение.

Пусть BD и CE – медианы треугольника, тогда

.

Рассмотрим треугольники MBC,  BME,  CMD. По теореме косинусов имеем

Значит,

Ответ:

Задача 2.

Основание треугольника равно 20; медианы, проведенные к боковым сторонам, равны 18 и 24. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Пусть ВВ1 и СС1 – медианы треугольника АВС, М – точка пересечения медиан. Тогда ВВ1 = 18 и СС1 = 24, ВС = 20. Рассмотрим треугольник ВМС  и по свойству медиан треугольника имеем

Треугольник ВМС – прямоугольный, т. к. для него выполняется теорема Пифагора, т. е.

Площадь треугольника ВМС равна 96, тогда площадь треугольника АВС равна 288, т. е. в три раза больше.

Ответ: 288

Биссектриса – отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне и делит внутренний угол пополам. AD – внутренняя биссектриса треугольника, АЕ – внешняя биссектриса треугольника. Биссектрису обычно обозначают L.

Свойства биссектрисы треугольника.

Внутренняя биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Внешняя биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая всегда лежит внутри треугольника. Эта точка является центром вписанной окружности.

Формулы для вычисления длины биссектрисы.

где a, b, c стороны треугольника, d, e – отрезки, на которые биссектриса делит сторону треугольника.

Задача 3.

В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание относится к боковой стороне как 4:3. Найдите радиус вписанной окружности

Решение.

Пусть СМ – высота данного треугольника АВС, СМ = 20, АС=ВС, О – центр вписанной окружности. Тогда ОМ – радиус данной окружности. Т. к. ОА – биссектриса угла САВ,

то = , то

Ответ: 8.

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. H - высота треугольника в, г - углы при основании a, b, c - стороны треугольника p - полупериметр, p=(a+b+c)/2 R - радиус описанной окружности S - площадь треугольника

Свойство высот треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

Формулы для вычисления высот треугольника.

Задача 4.

Точки А1, В1, С1 – основания высот треугольника АВС. Известно, что А1В1 = 13, В1С1 = 14, А1С1 = 15. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение.

Пусть Н – точка пересечения высот треугольника АВС; А2, В2, С2 – точки пересечения продолжения высот АА1, ВВ1, СС1 соответственно с окружностью, описанной около треугольника АВС. Тогда А1, В1, С1 – середины отрезков НА1,Н В1,Н С1. Значит АА1, ВВ1, СС1 – средние линии треугольников А2НВ2,  В2Н С2, А2НС2, поэтому стороны треугольника А2 В2С2 соответственно параллельны сторонам треугольника А1В1С1. Следовательно, треугольник А1В1С1 подобен треугольнику А2В2С2 с коэффициентом 2. Тогда .

Пусть О – центр описанной окружности треугольника А1В2С2, R – радиус этой окружности. Обозначим А2В2С2 = А1В1С1=в. Из треугольника А1В1С1 по теореме косинусов имеем .

Тогда

.

Известно, что радиусы ОА2, ОВ2, ОС2 перпендикулярны отрезкам В1С1 , А1С1, А1В1 соответственно. Следовательно

Ответ:

Средняя линия треугольника - Отрезок, который соединяет две стороны треугольника в их серединах, называется - средняя линия треугольника. DF, DE, EF - средние линии треугольника.

Свойства средней линии треугольника.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия Ѕ Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника, подобных данному, с коэффициентом подобия Ѕ. Средняя линия, какого либо треугольника, всегда расположена параллельно одной из его сторон и является половиной этой стороны.

Задача 5.

Площадь треугольника равна 16. Найти площадь трапеции, которую отсекает от треугольника его средняя линия.

Решение.

Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольника подобный ему треугольник, причем коэффициент подобия равен, поэтому площадь подобного треугольника равна четверти исходного треугольника, т. е. =4. Следовательно, площадь оставшейся трапеции равна 16-4=12.

Ответ: 12.

Задача 6.

Периметр треугольника равен 28. Середины его сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

Решение.

Пусть стороны данного треугольника a, b, c. Поскольку стороны полученного треугольника являются средними линиями данного треугольника, то периметр полученного треугольника равен

Ответ: 14.

Серединный перпендикуляр – прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая ее пополам. OD, OE – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

Свойства серединных перпендикуляров.

В случае остроугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) лежит внутри треугольника. В случае прямоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности)совпадает с серединой гипотенузы. В случае тупоугольного треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) лежит вне треугольника.

Задача 7.

На сторонах угла  АВС, равного 1200, отложены отрезки АВ = ВС = 4. Через точки А,  В, С проведена окружность. Найдите ее радиус.

Решение.

Пусть М – середина отрезка ВС, О – центр окружности и точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС. Тогда ОМ ВС, ВО – биссектриса угла АВС, угол ВОМ = 300, ВМ = 2. Поэтому R= ВO=2 ВМ=4.

Ответ: 4

Прямая Эйлера проходит через центроид треугольника, ортоцентр треугольника, точку пересечения серединных перпендикуляров, центр окружности девяти точек

Задача 8.

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, а медианы – в точке О. Биссектриса угла А проходит через середину отрезка ОН. Найдите площадь треугольника АВС, если ВС = 2, а разность углов В и С равна 300.

Решение.

Известно, что расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до стороны, противолежащей этой вершине.

Пусть Q – описанной около окружности АВС, М – середина стороны ВС. Тогда АН = 2QM. Если прямая QН пересекает медиану АМ в точке О’, то из подобия треугольников АО’Н и МО’Q следует, что АО’: О’М =АН: QМ = 2:1, значит, точка О’ совпадает с точкой О пересечения медиан треугольника АВС. Таким образом, доказано, что точки Н, О, Q лежат на одной прямой – прямой Эйлера, причем точка О расположена на отрезке QН и ОН = 2ОQ. Если К – середина ОН, то НК=КО=ОQ.

Продолжим биссектрису треугольника, проведенную из вершины А, до пересечения в точке Р с описанной окружностью треугольника АВС. Точка Р – середина дуги ВС, не содержащей точку А. значит, РМ – серединный перпендикуляр к стороне ВС. Поэтому прямая РМ проходит через точку Q.

Пусть R – радиус окружности, обозначим QМ = х. Тогда АН=2х. из подобия треугольников РКQ и АКН находим, что R = QР=АН·2АН=4х. Тогда QС= R=4х.

Рассмотрим прямоугольный треугольник QМС и, применим теорему Пифагора, получим

Отсюда х=, тогда R = 4х = .

Обозначим ВАС=, , . Пусть =300. По теореме синусов имеем

.

Следовательно,

Ответ: .

Прямая Симсона проходит через основания перпендикуляров, опущенных из любой точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения.

Задача 9.

Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.

Решение.

Отложим от луча BD  в полуплоскости, содержащей точку А, луч ВР так, что , где РАС.

Треугольники АВР и DВС подобны по двум углам, поэтому

.

Поскольку , то треугольники РВС и АBD также подобны по двум углам. Поэтому

Сложив почленно эти два равенства, получим, что ч. т.д.

Задачи для самостоятельного  решения.

Основание АС равнобедренного треугольника АВС равно 32, а боковые стороны 20.Из вершины B проведен перпендикуляр к боковой стороне  до пересечения с прямой АС в точке D. Найдите DA и DC. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно а,  а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны. Стороны АВ, BC и АС треугольника АВС равны соответственно  13 см, 15 см и 14 см. Вычислите площадь треугольника, заключенного между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ высота СН равна половине биссектрисы AD. Найдите углы треугольника АВС. Высоты АН и ВК  равнобедренного треугольника АВС с основанием BC пересекаются в точке O, АН = BC = 8. Найдите площадь треугольника АВО. В треугольнике АВС точка E – середина биссектрисы  CM. В каком отношении прямая АЕ делит площадь треугольника АВС, если известно, что отношение СА:CВ = p: q? Площадь треугольника АВС равна 80. Биссектриса BL пересекает  медиану СК в точке E, при этом AL:CL = 2:3. Найдите площадь  четырехугольника ALEK. Площадь треугольника ABC равна 120, точка D лежит на отрезке BC так, что BD:CD = 1:2, биссектриса BK пересекает прямую AD в точке L. Найдите площадь четырехугольника KLDC, если  AK: KC = 3:1. На стороне AC треугольника ABC взята точка E такая, что EC = AB. Пусть K − середина BC,  M − середина  AE. Найдите градусную меру угла  BAC, если  ∠ KME = 20°. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты точки K, L и T соответственно, причем  . Найдите площадь треугольника ABC, если  KBLT−параллелограмм с площадью, равной 7. В параллелограмме ABCD углы B и D – острые. Известно, что BK – биссектриса угла B, CM – биссектриса угла C, а точки K и M лежат на отрезке AD. Найдите, как площадь трапеции BCMK относится к площади ABCD, если BC =10, AB = 3. Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD и точке M и продолжение стороны BC в точке N. Найдите сторону квадрата, если  AM = 5, MN = 3. В треугольник ABC со сторонами AB = 10, BC = 7, AC = 15 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне  AC, одна – на стороне AB и одна − на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH треугольника ABC в точке M. Найдите площадь треугольника DMC. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников  AOD и  BOC  равны соответственно 25см2 и 16см2. Найдите площадь трапеции. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = а и  BC = b. Точки М и N лежат на сторонах АВ и CD соответственно, причем отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ АС пересекает этот отрезок в точке О. Найдите  MN, если известно,  что площади треугольников  АМО и CNO равны. Длины диагоналей трапеции равны 9см и 12см, а длина ее средней линии равна 7,5 см. Найдите площадь трапеции. Углы при одном из оснований трапеции равны 44° и 46°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 44 см и 46 см. Найдите основания трапеции. Найдите площадь трапеции, если ее диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2.

Литература.

  Энциклопедический  словарь юного математика М.: «Педагогика» 1989г.   Справочник по элементарной математике. :«Наука» 1973г. Геометрия 7-9. : «Просвещение» 2009г. http://rudocs. /docs/index-15882.html#720659 http://www. problems. ru/view_by_subject_new. php? parent=324