Векторная алгебра. ВЕКТОРЫ

Векторная алгебра.

ВЕКТОРЫ

Основные понятия

  Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объём, температура, работа, масса.

  Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными. Векторная величина геометрическая изображается с помощью вектора.

  Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.

Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается символом или .

Вектор (у него начало в точке В, а конец в точке А) называется противоположным вектору . Вектор, противоположный, вектору

,  обозначается .

Длиной или модулем вектора  называется длина отрезка и обозначается Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается .        

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

       Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

       Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

       Два вектора и называются равными ( = ), если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

       Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Линейные операции над векторами

       Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножения вектора на число.

       Пусть и - два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку О и построим вектор От точки А отложим вектор . Вектор соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов и : (см. рис.1).

Рис. 1.

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Сумму двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма (см. рис.2).

Рис.2

На рисунке 3 показано сложение трёх векторов

Рис.3.

Под разностью векторов и понимается вектор такой, что (см. рис.4).

Рис.4.

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая разностью (см. рис. 5).

Рис. 5.

Можно вычитать векторы по правилу:

т. е. вычитание заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .

Произведением вектора на скаляр (число) называется вектор (или ), который имеет длину коллинеарен вектору , имеет направление вектора , если и противоположное направление, если

Из определения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1)        если , то ?. Верно и обратное утверждение;

2)        всегда т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Координаты вектора. Модуль вектора

       Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Выделим на координатных осях и единичные векторы (орты), обозначаемые соответственно (см. рис.1).

Рис.1.

       Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат.

       Тогда мы можем представить вектор следующим образом:

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектра по ортам координатных осей. Числа называются координатами вектора .

       Векторное равенство (1) часто записывают в символическом виде:

       Равенство означает, что 

       Зная координаты вектора , можно легко найти выражение для  модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать 

Отсюда,

т. е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Координаты точки

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат .

Для любой точки М координаты вектора называются координатами точки М.

Вектор называется радиус-вектором точки М, обозначается , т. е. .

Следовательно, координаты точки – это координаты её радиус-вектора

или

Координаты точки М записываются в виде

Координаты вектора.

       Координаты вектора если известны координаты точек

и вычисляем по следующей формуле

Следовательно, координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала:

Действия над векторами, заданными координатами

Пусть векторы

заданы своими координатами или, что то же самое

, 

Линейные операции над векторами

Так как линейные операции над векторами сводятся к соответствующим операциям над координатами этих векторов, то можно записать:

или кратко

То есть при сложении (вычитании) векторов их одноимённые координаты складываются (вычитаются).

или короче

То есть при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножается на этот скаляр.

Равенство векторов

       Из определения вектора как направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора

равны тогда и только тогда, когда выполняются равества: .

Коллинеарность векторов

       Выясним условия коллинеарности векторов и , заданных своими координатами.

       Так как  параллельно , то можно записать ,

где - некоторое число.

То есть

Отсюда

 

т. е.

или

Таким образом, координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

Пример1.

Найти длину вектора если

Решение:

Через координаты векторов скалярное произведение задаётся следующим образом:

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат.

Пример2.

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А(-4;-4;4), В(-;2;2), С(2;5;1), D(3;-2;2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора лежащие на диагоналях данного четырёхугольника. Имеем:

Проверим, ортогональны ли эти вектора. Для этого найдём их скалярное произведение:

Отсюда следует, что вектора, лежащие на диагоналях четырёхугольника ортогональны, а значит, диагонали взаимно перпендикулярны и данный четырёхугольник является параллелограммом.

Через скалярное произведение по следующим двум формулам можно выразить угол между векторами.

или

Ортогональными векторами (обозначается ) называются вектора, скалярное произведение которых равно нулю, т. е.

Верно и обратное утверждение, если скалярное произведение векторов равно нулю, то они ортогональны.

Пример3.

Даны векторы

Найти:

а) векторы

 

б)длины векторов

в) скалярный квадрат вектора

г) скалярное произведение векторов

д) угол между векторами

Решение:

откуда

Векторное произведение

Определение. Три некомпланарных вектора взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора  кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.        

 

Векторным произведением двух векторов называется новый вектор удовлетворяющий трем условиям:

1) модуль которого равен площадь параллелограмма, построенного на векторах , приведённых к общему началу;

2)перпендикулярен к перемножаемым векторам ;

3)векторы образуют правую (см. рис.1).

  Рис. 1

       Векторное произведение обозначается

Из определения следует, что модуль векторного произведения можно вычислить по формуле:

Если векторы коллинеарны, то их векторное произведение считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для того,  чтобы два ненулевых вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нулевому вектору.

Пример:

Даны вектора для которых Найти

Решение:

Свойства векторного произведения

Пример:

Даны вектора для которых Найти

Решение:

Согласно свойствам векторного произведения получаем:

Следовательно,

Выражение векторного произведения через координаты

       Пусть заданы два вектора

Найдём векторное произведение этих векторов по следующей формуле:

Данную формулу можно записать иначе:

Пример.

Найти координаты вектора если

       Решение:

Координаты векторного произведения вычисляются по формуле:

или её можно записать так:

Таким образом,

Некоторые геометрические приложения векторного произведения

Согласно определению векторного произведения векторов

Таким образом

И, значит,

Пример.

Найти площадь треугольника с вершинами А(1; 2; 0), В(3;2;1) и С(1; 2;-1).

Решение:

Площадь треугольника АВС равна половине площадь параллелограмма, построенного на векторах т. е.

Имеем:

Тогда:

Ответ:

Смешанное произведение векторов

       Рассмотрим произведение векторов составленное следующим образом:

Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор.

       Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным произведением трёх векторов.

       Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

       Выясним геометрический смысл выражения        

        Пусть мы имеем параллелепипед, рёбрами которого являются векторы

       Имеем:  где площадь параллелограмма построенного на векторах , где h – высота параллелограмма.

Таким образом,  смешанное произведение векторов, взятое по модулю равно объёму параллелепипеда построенного на этих векторах.

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е.

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е.

3. Смешанное произведение ненулевых векторов  равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Определение. Вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Выражение смешанного произведения через координаты

Пусть заданы векторы

Найдём их смешанное произведение по следующей формуле:

Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

Установление компланарности векторов

Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю 

Пример.

Доказать, что точки А(3; 5; 1), В(2; 4; 7), С(1; 5; 3) и D(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.

Решение:

Достаточно показать, что вектора лежат в одной плоскости (т. е. компланарны). Находим координаты векторов:

Проверим условие компланарности векторов:

Итак векторы компланарны, следовательно точки А, В, С, D лежат в одной плоскости.

Определение объёмов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Объём параллелепипеда, построенного на векторах вычисляется, как

а объём треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Пример.

Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(0;1;1), С(2;5;2) и D(3;0;-2).

Найти объём пирамиды.

Решение:

Находим векторы

               

Находим

Следовательно,

Литература:

1. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Рольф, 2000 (с. 31-47);

2., , Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. (с. 91-111);

3. Высшая математика: Учеб. для студ. Естественнонаучных специальностей педагогических вузов. – 2-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия»; Высшая школа, 2001.(с.36-40, 52-59)

4.Электронный учебник Learning Space. Модульный блок 2.