Программа учебной дисциплины Математические модели в естествознании

ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт  МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ И ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

УТВЕРЖДЕНО	Рекомендовано
Ученым Советом института	Кафедрой ФИОУ
Протокол №  от	Протокол №  от
«____»_____________2013 г.	«____»___________2013 г.
Директор ИМИТ	Зав. каф. ФИОУ
_______________	____________

Основная образовательная программа

подготовки бакалавров по направлению 010400.62

"Прикладная математика и информатика"

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ

4 зачетных единиц

Автор:

Профессор каф. ФИОУ,  д. ф.-м. н.

Волгоград 2013

Рабочая программа составлена на основании ФГОС ВПО и учебного плана ООП по направлению 010400.62  “Прикладная математика и информатика”.

Раздел 1. Цель и задачи преподавания дисциплины

Основной целью курса «Математические модели в естествознании» является освоение теоретических основ и практических навыков решения задач, возникающих при построении и исследовании стандартных математических моделей в динамике жидкостей и газов, описываемых уравнениями в частных производных.

Для реализации поставленной цели в процессе курса решаются следующие задачи:

● освоение математического аппарата векторного и тензорного анализа;

● изучение основных видов математических моделей движения сплошных сред;

● изучение основных закономерностей газодинамических течений на частных задачах.

● изучение частных решений, используемых в современных численных методах.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

По итогам изучения курса студенты должны:

● владеть техникой преобразования дифференциальных векторных выражений;

● уметь применять интегральные теоремы для вычисления многомерных интегралов;

● знать формулировки законов сохранения и математических моделей газовой динамики;

● знать свойства решений классических задач газовой динамики и динамики жидкостей;

● уметь применять закономерности частных решений в численном моделировании.

Взаимосвязь учебных дисциплин

Курс должен изучаться после дисциплин "Математический анализ – III", "Дифференциальные уравнения" и "Физика (Механика)".

Преподавание дисциплины «Математические модели в естествознании» способствует формированию общекультурных и профессиональных компетенций бакалавров:

(ОК16) способностью к интеллектуальному, культурному, нравственному, физическому и профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей квалификации и мастерства. (ПК1) способность демонстрации общенаучных базовых знаний естественных наук, математики и информатики, понимание основных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой. (ПК2) способность приобретать новые научные  и профессиональные знания, используя образовательные и информационные технологии. (ПК3) способность понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат.

Дисциплина изучается на 3 курсе (семестр 5).

Вид итогового контроля: –экзамен.

Количество зачетных единиц	4
Общая трудоемкость дисциплины, час	144
Аудиторные занятия, час	68
Лекций, час	34
Практические (семинарские) занятия, час	34
Лабораторные занятия, час	-
Самостоятельная работа, час	76
Выполнение домашних заданий, час	7
Подготовка к контрольным работам и тестам, час	28
Выполнение контрольных работ и тестов, час	9
Подготовка к экзамену, экзамен, час	32

Раздел 2. Содержание учебной дисциплины

1. Тематический план дисциплины "Математические модели в естествознании"

№ п/п	Тематика лекций и семинарских занятий	Кол-во	часов
Лекции	семинар
1.	Введение в МСС. Интегральные законы сохранения.	4	-
2.	Введение в тензорный анализ.	3	3
3.	Символы Леви-Чивита и дифференциальный оператор Гамильтона.	2	3
4.	Интегральное определение дифференциальных операторов.	3	3
5.	Интегральные теоремы векторного анализа.	2	3
6.	Законы сохранения МСС в дифференциальной форме.	3	3
7.	Основные модели аэрогидродинамики.	2	3
8.	Модель идеального газа. Первые интегралы.	3	3
9.	Модель идеального газа. Стационарные течения.	2	3
10.	Нестационарное одномерное течение идеального газа.	3	2
11.	Поверхности разрывов и ударные волны.	2	3
12.	Задача о распаде произвольного разрыва.	3	2
13.	Взаимодействие ударных волн.	2	3
Всего часов:	34	34

Тема 1. Введение в МСС. Интегральные законы сохранения.

Основные понятия МСС. Гипотеза сплошности. Тепловое движение молекул. Макропараметры, характеризующие сплошную среду. Макроэффекты теплового движения молекул: диффузия, внутренние напряжения, вязкое трение, теплопроводность. Эйлеровые и лагранжевые координаты. Интегральные законы сохранения механики сплошных сред.

Тема 2. Введение в тензорный анализ.

Скалярные и векторные поля, их инвариантность. Криволинейные координаты. Преобразования системы координат. Определение векторных и тензорных величин через закон преобразования компонент. Ковариантные и контрвариантные тензоры. Единичный тензор и символы Кронеккера. Индексные выражения, суммирование, немые и свободные индексы. Правила Эйнштейна для индексных выражений. Сложение и умножение тензоров. Свертка. Корректность тензорных операций. Метрический тензор. Поднятие и опускание индексов. Ковариантные и контрвариантные компоненты тензора. Обобщение тензорных операций. Локальные векторные базисы.

Тема 3. Символы Леви-Чивита и дифференц. оператор Гамильтона.

Символы Леви-Чивита. Векторное произведение векторов. Свойства сверток с символами Леви-Чивита. Доказательства векторных тождеств в индексной форме записи. Формальное введение дифференциальных операторов первого порядка grad, div и rot в индексной форме. Их запись с помощью оператора Гамильтона ∇. Выражение для конвективной производной. Дифференциальный оператор Δ. Свойства и тождества для дифференциальных операторов и их доказательства.

Тема 4. Интегральное определение дифференциальных операторов.

Евклидово пространство и декартовая система координат. Криволинейные, поверхностные и объемные интегралы от векторных и скалярных полей и их физический смысл. Инвариантные определения дифференциальных операторов grad, div, rot, через поверхностные интегралы. Две леммы для простейших поверхностных интегралов. Вывод дифференциального представления операторов в декартовой системе координат.

Тема 5. Интегральные теоремы векторного анализа.

Интегральные теоремы, вытекающие непосредственно из интегральных определений grad, div, rot. Формула Гаусса-Остроградского. Поток вектора через поверхность. Локальное разложение векторного поля. Формула Стокса. Циркуляция вектора по замкнутому контуру. Вихревые трубки. Теорема Гельмгольца. Подвижный объем, формула дифференцирования по времени интеграла, взятого по подвижному объему.

Тема 6. Законы сохранения МСС в дифференциальной форме.

Вывод уравнения неразрывности. Полная и частная производная по времени. Вывод дифференциального уравнения движения из интегрального закона. Тензор напряжений Симметричность тензора напряжений. Вывод дифференциального уравнения энергии из интегрального закона. Уравнение для внутренней энергии. Объемная и массовая плотность внутренней энергии. Дивергентная форма дифференциальных законов сохранения.

Тема 7. Основные модели аэрогидродинамики

Конкретизация сред и течений: идеальные и вязкие среды, сжимаемость/несжимаемость, стационарность/нестационарность. Линейная модель вязкого газа. Закон Фурье для потоков тепла. Несжимаемая жидкость. Уравнения состояния. Модель совершенного газа. Смесь совершенных газов. Смесь совершенного газа и пыли. Полная система уравнений вязкого газа. Уравнение Навье-Стокса. Начальные и граничные условия. Системы уравнений и граничные условия более простых моделей: идеальный совершенный газ, вязкая несжимаемая жидкость, идеальная несжимаемая жидкость. Классификация течений и сред.

Тема 8. Модель идеального газа. Первые интегралы.

Полная система дифференциальных уравнений идеального совершенного газа (модель Эйлера). Адиабата Пуассона как первый интеграл уравнения энергии. Энтропия совершен­ного газа. Распространение малых возмущений. Скорость звука. Равновесие политропной атмосферы. Уравнение импульса в форме Громека-Лемба. Интеграл Бернулли. Функция давления. Изэнтропические формулы. Примеры: истечение жидкости из сосуда, движение газа по трубе переменного сечения, обтекание профиля крыла.

Тема 9. Модель идеального газа. Стационарные течения.

Квазиодномерное стационарное течение газа в канале. Переходы в сверхзвуковое течение. Сопло Лаваля. Режимы течения и расход газа в сопле Лаваля. Двумерные стационарные течения. Вывод характеристической формы уравнений. Гиперболичность сверхзвуковых стационарных течений. Линии Маха. Соотношения на характеристиках. Основы метода характеристик для численных расчетов сверхзвуковых течений. Течение Прандтля-Майера. Стационарное истечение в вакуум.

Тема 10. Нестационарное одномерное течение идеального газа.

Модифицированная функция давления. Характеристическая форма уравнений. Характеристики и инварианты Римана. Простые волны. Опрокидывание волн сжатия. Задача о выдвижении поршня из трубы. Веер волны разрежения. Нестационарное истечение в вакуум.

Тема 11. Поверхности разрывов и ударные волны.

Дивергентная форма уравнений для газовой динамики и их слабые решения. Поверхности разрывов в одномерном случае. Соотношения параметров на неподвижном и подвижном разрыве. Контактные разрывы. Соотношения на скачке в совершенном газе. Ударные волны и скачки разряжения. Ударная адиабата. Задача о толкающем поршне в трубе.

Тема 12. Задача о распаде произвольного разрыва.

Задача о распаде произвольного разрыва в совершенном газе. Частные случаи: задачи с поршнем, нормальное отражение ударной волны от стенки. Использование задачи о распаде произвольного разрыва в современных численных методах. Линеаризованная задача и ее решение. Замкнутая система алгебраических уравнений в нелинейном случае. Алгоритм с использованием метода Ньютона.

Тема 13. Взаимодействие ударных волн.

Обобщение соотношений для ненормальных разрывов. Тангенциальные разрывы и косые ударные волны. Ударная поляра. Отражение косых ударных волн от поверхностей. Регулярное и Маховское отражение. Трех ударная теория Неймана. Парадокс Неймана для слабых ударных волн.

3. Литература (основная)

Механика сплошных сред. Том 1. 6-е изд. - СПб.: Лань, 2004. – 528 с. Механика сплошных сред. Том 2. 6-е изд. - СПб.: Лань, 2004. - 560 с. Гидроаэромеханика и газовая динамика. - М.: Изд-во МГУ, 1987. - 184 с.

Литература (дополнительная)

Механика жидкости и газа. 7-е изд. - Изд-во Дрофа, 2003. - 840 с. Газовая динамика. Учебник для университетов. - М.: Наука, 1988. - 424 с. , ,   Численное решение многомерных  задач газовой динамики. – М.: Наука, 1976. - 400 с. , Гидродинамика. Том. VI. 3-е изд. - М.: Наука, 1986. - 736 c. Газовая динамика. Избранное: В 2 т. Т.1 / Ред.-сост. . - М.: ФМлит, 2000. - 720 с. (3 экз. в библ. ВолГУ) Газовая динамика. Избранное: В 2 т. Т.2 / Ред.-сост. . - М.: ФМлит, 2001. - 768 с. (3 экз. в библ. ВолГУ) Фабер ТЕ. Гидроаэродинамика / Пер. с англ.: , . - М.: Постмаркет, 2001. - 560 с. (5 экз. в библ. ВолГУ) Абрамович ГН. Прикладная газовая динамика: В 2-х ч. Т.1. 5-е изд. - М.: Наука, 1991.-600 с. (4 экз. в библ. ВолГУ)

Примечание: более ранние (с 1970 г.) издания книг в списке литературы могут использоваться наравне с последними изданиями.

4. Метод формирования итоговой оценки

Вид контроля	Максимальное количество баллов
Посещения и работа на аудиторных занятиях	10 баллов
Контрольные работы и тесты в аудитории	70 баллов
Экзамен	50 баллов

Количество баллов формируют итоговую оценку по критериям действующей в ВолГУ бально-рейтинговой системы.