Вопросы по алгебре I семестр 2016 год. Лектор:
1. Отображение, кванторы, логические операции, бинарные отношения.
2. Мощность множества, равномощность, отношение эквивалентности.
3. Теорема Кантора.
4. Перестановки, размещения, сочетания. Сочетания с повторениями.
5. Мощности множества всех подмножеств, размещений и перестановок с
повторениями. Бином Ньютона. Полином Ньютона.
6. Группа. Нейтральный элемент. Основные алгебраические структуры.
7. Связь между полугруппой и группой. Основные алгебраические структуры.
8. Поле комплексных чисел. Геометрическое и алгебраическое определения. Их эквивалентность.
9. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль, аргумент. Формулы
Муавра.
10. Показательная форма комплексного числа. Логарифм.
11. Первообразные корни.
12. Делимость целых чисел. Неполное частное и остаток. Алгоритм Евклида.
13. Линейное представление НОД и оценки коэффициентов.
14. Линейное представление НОД и следствия из него.
15. Свойства сравнений и вычетов.
16. Решение линейных сравнений.
17. Решение систем линейных сравнений последовательным способом.
18. Решение систем линейных сравнений с помощью китайской теоремы об остатках.
19. Поле вычетов. Число вычетов в полной системе вычетов. Т. о произведении числа взаимно простого с модулем на вычеты.
20. Приведенная система вычетов. Функция Эйлера. Т. о произведении
числа взаимно простого с модулем на приведенные вычеты.
21. Замечательные теоремы из теории чисел.
22. Полиномиальные сравнения.
23. Кольцо многочленов. .Делимость многочленов Неполное частное и остаток
24. Алгоритм Евклида.
25. Линейное представление НОД многочленов и следствия из него.
26. Схема Горнера.
27. Непрерывность многочлена. Теорема о модуле старшего члена.
Теорема о возрастании модуля.
28. Лемма Д'Аламбера. Основная теорема алгебры.
29. Следствия из ОТА. Разница между функциональным и алгебраическим
определениями многочлена.
30. Формулы Виета, многочлен с вещественными коэффициентами.
31. Оценки корней.
32. Кратные корни.
33. Локализация по Штурму.
34. Многочлены над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса.
35. Связь приводимости целочисленного многочлена в кольце целых чисел с
его приводимостью над полем рациональных чисел.
36. Критерий Эйзенштейна
37. Рациональные дроби, теоремы 1-3.
38. Рациональные дроби теоремы 3,4. Интегрирование некоторых простейших дробей.
39. Алгебра матриц
40. Подстановки и перестановки, обратные подстановки, четности.
41. Аксиоматическое определение определителя и его свойства.
42. Миноры. Формулы Бине - Коши.
43. Следствия из формул Бине - Коши: (о неравенстве К-Б и об обратных матрицах).
44. Дополнительные миноры, функция четности.
45. Теорема о слагаемых произведения минора на дополнительный к нему минор.
46. Частный случай теоремы Лапласа.
47. Следствия из Т. Лапласа: обратные матрицы.
48 Формулы Крамера
49 Векторные пространства
