Лекция 2
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Экономические задачи, приводящие к использованию математических методов.
Задача 1. Пусть завод производит мужские, женские и детские велосипеды. Тогда объем его производства V за год можно записать как вектор (M, L, D), где M – объем производства за год мужских велосипедов, L – женских и D – детских. Например, пусть объем производства в 1996 г. был V96 = (1000, 800, 4000). Предположим, что план на 1997 г. на 10% больше объема производства в 1996 г., тогда этот план есть вектор V97 = (1100, 880, 4400). Пусть торговая фирма «Велосипеды» покупает половину всей продукции завода, тогда в 1996 г. она купила W = (500, 400, 2000). Предположим, что в стране всего три велосипедных завода, объемы производства которых в 1996 г. были Q1 = (1000, 800, 4000), Q2 = (1000, 600, 2000), Q3 = (2000, 1600, 8000). Тогда все три завода вместе произвели Q = (4000, 3000, 14 000), т. е. 4000 мужских, 3000 женских и 14 000 детских велосипедов. Можно также отметить, что Q3 = 2 Q1 , т. е. 3-й завод произвел в 2 раза больше велосипедов каждого вида, чем 1-й завод.
Приведенные выше векторы V96, V97, W, Q1 , Q2 , Q3 и т. д. – это примеры конкретных векторов. Произвольный трехмерный вектор можно обозначить (x1, x2 , x3) или кратко X. В векторе X компонента x1 есть 1-я компонента, x2 – 2-я, x3 – 3-я. Произвольный четырехмерный вектор можно обозначить (x1, x2 , x3, x4 ), и если n – какое-нибудь натуральное число, то (x1, …, xn) обозначает произвольный n – мерный вектор.
В этом примере умножали вектор на число и складывали вектора.
Темы векторной алгебры и решение линейных алгебраических систем часто встречаются в экономических задачах. Рассмотрим математическую основу этих понятий.
N - мерные векторы.
Векторы широко используются во всех областях науки, в том числе экономической. Многие обозначения при использовании векторов очень компактны, при этом не теряют в наглядности и содержательности.
Определение 1. Всякая упорядоченная совокупность из n чисел 
называется n-мерным вектором, где
- компоненты (координаторы вектора).
Два n - мерных вектора равны, если равны их соответствующие компоненты. Вектор 
называется нулевым.
Над векторами вводятся следующие операции:
1. Сложение векторов 
,
:
.
2. Умножение векторов на число 
:
Складывать можно только вектора одной и той же размерности.
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
А) ассоциативное: 
Б) распределительное по отношению к умножению на число: 
Есть отличия операций над векторами от операции над числами. Нельзя сравнивать какой из векторов больше, только для векторов одной и той же размерности можно говорить о равенстве или неравенстве этих векторов.
Определение 2. Система векторов 
называется линейно независимой, если найдутся числа 
, одновременно не равные нулю, такие, что
,
иначе система - линейно независимая.
Пример 1. Вектора 
линейно зависимые так как при 
Векторы 
и 
линейно независимые так как
Линейная зависимость системы векторов означает, что хотя бы один из векторов системы можно выразить линейной комбинацией остальных.
Пусть Q произвольная система векторов.
Определение 3. Система 
линейно независимых векторов называется базисом в Q, если найдутся числа 
, одновременно не равные нулю, что
(1)
Формула (1) называется разложением вектора 
по базису 
, а 
- координаты вектора 
в базисе 
. В примере 1 вектора 
и 
образуют базис системы векторов 
.
Теорема 1. Любая система из 
>
–мерных векторов линейно зависима.
Определение 4. Рангом системы векторов называется число векторов в базисе этой системы и оно равно максимально возможному количеству линейно независимых векторов этой системы.
Теорема 2. Ранг системы векторов равен рангу матрицы, строки которой состоят из компонентов векторов этой системы.
Определение 5. Множество 
-мерных векторов с операциями сложения векторов и умножения вектора на число называется линейным пространством 
.
Ранг пространства 
равен 
, т. е. любые 
линейно - независимых векторов в 
образуют базис и 
- размерность пространства.
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения
Чтобы определить линейную зависимость векторов, надо решить систему из m линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n неизвестными.
Определения.
6. Системой 
линейных алгебраических уравнений с 
неизвестными назовем систему вида
(2)
где 
- коэффициенты системы, 
- свободные члены, 
- неизвестные.
7. Числа 
называются решением системы (2), если они, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают их в тождества.
8. Систему (2) назовем совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и, несовместной – в противном случае.
9. Совместную систему (2) назовем определенной, если она имеет единственное решение, иначе – неопределенной.
10. Если 
, то систему (2) назовем однородной.
Пример. Является ли вектор С=(1,6) линейной комбинацией векторов А=(1,2), В=(0,2)?
Решение. Для ответа на вопрос, получаем СЛАУ:
Ее решение 
Следовательно, С=А+2В. Система векторов С, А,В – линейно зависима.
Из примера 9 (лекция 1) следует, что систему (1) можно записать в матричном виде
Теорема Кронекера-Капелли. Для того, что бы система (2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы 
, где
расширенная матрица системы (2).
Так как каждое уравнение системы (2) однозначно определяется набором коэффициентов этого уравнения, то рассматривая строки матрицы 
как компоненты векторов, получим, что 
равно числу линейно независимых уравнений системы (2).
Следствие 1. Система (2) является определенной тогда и только тогда, когда
,
где 
- количество неизвестных.
Рассмотрим случай, когда 
и 
. Из следствия (1) следует, что тогда система (2) определенная и для нахождения решения системы рассмотрим следующие способы:
Правило Крамера. Решение системы (2) определяется формулами
,
где 
- определители, получаемые из 
заменой 
-го столбца на столбец свободных членов.
2. Матричный способ. Так как 
, то
3. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных). С помощью элемен-тарных преобразований систему (2) приводят к эквивалентной ей системе
(3)
из которой затем находят неизвестные.
Пример 2. Рассмотренными способами решить систему уравнений.
(4)
Решение.
Следовательно система (4) имеет единственное решение.
а) Правило Крамера. Найдем 
.
Отсюда
.
б) Матричный способ. Запишем систему (4) в виде 
, где
.
Из примера 10 (лекция 1) имеем
.
Следовательно из 
, получим
или
.
Отсюда 
в) Метод Гаусса. Переставим местами 1-е и 2-е уравнения
Умножим 1-е уравнение на –2 и сложим его 2-м уравнением. Затем, умножим 1-е уравнение на –1 и сложим его с 3-м уравнением. Таким образом, мы исключим 
из 2-го и 3-го уравнений.
Умножим 2-е уравнение на 
и сложим его с 3-м уравнением. Мы исключили 
из 3-го уравнения
Из 3-го уравнения 
. Подставляя 
во 2-е уравнение, получим 
Далее, подставляя 
в 1-е уравнение, найдем 
.
2.1. Понятие общего решения
Рассмотрим общий случай, когда количество уравнений может не совпадать с количеством неизвестных и
Не снижая общности, можно считать, что
(5)
Из (5) следует, что последние 
уравнений являются линейными комбинациями первых 
уравнений. Отбросив последние 
уравнений, и, перенеся неизвестные 
в правую часть уравнений, получим эквивалентную системе (2) систему уравнений.
(6)
Переменные 
назовем базисными, а 
- свободными. Из (5) следует, что, если считать неизвестными только 
, система (6) имеет единственное решение, то есть 
можно выразить через свободные неизвестные. Решение системы (6), которое выражает базисные переменные через свободные, называется общим решением системы (1).
Пример 2. Установить совместность и найти общее решение системы
(7)
, 
.
Так как 
(подсчитать самостоятельно), то система совместна, причем
.
Следовательно, оставив 1-е и 2-е уравнения, и, перенеся в правую часть переменные 
и 
, получим а затем исключая из первого уравнения 
получим
(8)
( 8) – общее решение системы (7), 
- базисные переменные, 
- свободные переменные.
З а м е ч а н и е 1. Систему (7) можно решать непосредственно методом Гаусса. По ходу решения выяснится совместна ли система (7) или нет, и, если совместна, то найдется общее решение.
Умножим 1-е уравнение на –2 и сложим его 2-м уравнением. Затем умножим 1-е уравнение на –1 и сложим его 4-м уравнением. Получим
сложим 2-е уравнение с 3-м и 4-м
т. е. получили общее решение системы (7), 
- базисные переменные, 
- свободные переменные. Если из 1-го уравнения найти 
и подставить во второе, то получим общее решение (8). Этот процесс называется переводом свободной переменной 
в базисные.
2.1Однородные системы линейных уравнений
Рассмотрим систему уравнений
(10)
Очевидно, что система (10) всегда совместна, так как имеет тривиальное решение 
Из следствия 1 следует, что для существования нетривиального (ненулевого) решения системы (10) необходимо и достаточно, чтобы 
Пример 3.
Решаем методом Гаусса. Исключим 
из 2-го и 3-го уравнений
.
ЛИТЕРАТУРА
1. , , Математика. Часть I. Учебное пособие. У-К: ВКГТУ, 2008г., 2722с.
2. , Справочник по математике для инженеров. М.: Высшая школа,1997 .
3. ИДЗ. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Под редакцией , ч.1,2 Минск, «ВШ», 2002г.
