Погрешности измерения (стр. 3 )

Однако подсчитать погрешность полученного результата так же просто, как и при прямых измерениях нам не удастся.

Предположим, что нам необходимо определить периметр и площадь прямоугольника. Произведя измерения линейкой получим длины сторон. Пусть длина одной стороны равна a, другой - b. Тогда периметр р прямоугольника будет равен p=2(a+b), а его площадь s=ab. Можно ли утверждать, что погрешность расчета периметра прямоугольника и его площади будут одинаковыми? Врядли, ведь формулы, которыми пользовались при расчете разные: при нахождении периметра величины, полученные при измерении складывали, а при подсчете площади - перемножали. Так что нам при расчете погрешности придется учитывать, как выглядит формула, по которой производился расчет искомой физической величины.

Вид функции	Относительная погрешность

Абсолютная погрешность при косвенных измерениях расчитывается иначе, чем при прямых измерениях. Для вычисления абсолютной погрешности воспользуемся тем, что . Откуда . Из сказанного выше следует, что способ вычисление относительной погрешности должен зависеть от формулы (вида функции), по которой производился расчет искомой физической величины. В теории погрешностей показывается как это можно сделать в общем виде. Мы же воспользуемся набором готовых формул для вычисления относительной погрешности.

Формулы расчета относительных погрешностей для различных случаев приведены в таблице 3.

Как пользоваться этой таблицей?

Пусть например, некоторая физическая величина х рассчитывается по формуле: . Значения k, m и p найдены прямыми измерениями во время проведения эксперимента. Их абсолютные погрешности соответственно равны . Подставляя полученные значения в формулу, получим приближенное значение . Далее следует рассчитать относительную погрешность результата - . Это можно сделать, воспользовавшись соответствующей формулой из таблицы 3.

На первый взгляд кажется, что такой формулы в таблице нет. При более внимательном анализе ситуации заметим, что в нашем случае искомое значение находится как отношение двух величин. Тогда можно воспользоваться формулой . В нашем случае , а B = p. Из таблицы имеем для отношения : или

В той же таблицы найдем как рассчитывать относительную погрешность суммы: . Следовательно . Теперь можно найти значение границы абсолютной погрешности . Окончательно имеем: .

4. СЛУЧАЙНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ

Часто при проведении повторных измерений какой-либо величины получаются несколько различные результаты, отличающиеся друг от друга больше, чем сумма погрешностей прибора и отсчета. Это вызвано действием случайных факторов, которые невозможно устранить в процессе эксперимента.

Пусть мы определяем дальность полета шарика, пущенного из баллистического пистолета в горизонтальном направлении.

Даже при неизменных условиях эксперимента шарик не будет попадать в одну и ту же точку поверхности стола.( Это связано с тем, что шарик имеет не совсем правильную форму, на боек ударного механизма при движении в канале пистолета действует сила трения, изменяющаяся по величине, положение пистолета в пространстве не совсем жестко зафиксировано и т. д.)

Такой разброс результатов происходит практически всегда при выполнении серии экспериментов.

В этом случае за приближенное значение измеряемой величины берут среднее арифметическое.

Причем, чем больше будет проведено экспериментов, тем ближе будет среднее арифметическое к истинному значению измеряемой величины.

Но и среднее арифметическое, вообще говоря, не совпадает с истинным значением измеряемой величины. Как же найти границу интервала, в котором находится истинное значение? Эта граница называется границей случайной погрешности - . В теории расчета погрешностей показывается, что , где - значения физической величины в 1, 2,...n опыте

Погрешность среднего арифметического.

Когда мы находим среднее арифметическое значение величины по результатам серии опытов, то естественно считать, что оно имеет меньшее отклонение от истинного значения, чем каждый опыт серии. Другими словами, погрешность среднего меньше, чем погрешность каждого опыта серии. В теории погрешностей доказывается, что граница погрешности среднего значения равна:

. Окончательно имеем:

.

Из формулы следует, что граница случайной погрешности среднего значения стремится к нулю при увеличении числа опытов в серии. Это не значит, однако, что можно проводить абсолютно точные измерения ведь приборы, с помощью которых мы получили результаты, также имеют погрешности. Поэтому погрешность среднего при бесконечном увеличении числа опытов стремится к погрешности прибора.

Очевидно, что число опытов имеет смысл выбрать таким, чтобы случайная погрешность среднего сравнялась с погрешностью прибора либо стала меньше ее. Дальнейшее увеличение числа измерений теряет смысл, так как не увеличит точность получаемого результата: , где - граница погрешности измерительного прибора.

Если нет возможности по каким-либо причинам провести достаточное количество опытов (т. е. не удалось сделать погрешность среднего равной погрешности приборов), то результат должен быть взят в виде: , где - граница случайной погрешности среднего.

5. СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ.

Необходимо иметь ввиду, что во всех наших оценках границ погрешностей мы не учли, что существуют так называемые систематические погрешности. Эти погрешности возникают из - за влияния измерительного прибора на процессы в измерительной установке; недостаточной корректности методики измерения; неправильных показаний прибора, например из-за первоначального смещения стрелки прибора от нулевого деления шкалы, и по другим причинам. В школьном эксперименте устранить систематические погрешности трудно из-за того, что ограничен выбор средств измерения и они имеют не высокое качество. Поэтому при подготовке и проведении практических работ УЧИТЕЛЮ приходится продумывать методику проведения эксперимента и тщательно подбирать соответствующие приборы для сведения систематических погрешностей к минимуму. Таким образом будем считать систематические ошибки не существенными и учитывать их при расчете погрешности (во всяком случае при проведении работ по механике) не будем.

6. Использование таблиц, построение графиков, сравнение

результатов экспериментов с учетом погрешностей.

ЗАПИСЬ ОКОНЧАТЕЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

При пользовании таблицами следует иметь ввиду, что погрешности приведенных значений имеют границу, равную в следующем разряде за последней значащей цифрой. Например, если в таблице указано: кг/м, то на самом деле кг/м.

При построении графиков следует иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник со сторонами и ( рис. 9.2. ). Поэтому при построении графиков необходимо проводить плавную линию так, чтобы примерно одинаковое число точек оказалось по разные стороны от кривой.

Погрешность измерения следует учитывать, если вы хотите убедиться в достоверности измерения физической величины, действительное значение которой известно. В этом случае необходимо убедиться в принадлежности известного значения физической величины интервалу (рис..).

Если проверяется закон А=В, то проверка достоверна, если интервалы имеют общие точки (рис.9.4), т. е. частично или полностью перекрываются.

На рисунке показан случай, при котором надо считать A=B (т. е. интервалы имеют общие точки).

После того, как вычислена граница абсолютной погрешности, ее значение обычно округляется до одной значащей цифры. После этого и результат измерения записывается с числом десятичных знаков, не большим, чем их имеется в абсолютной погрешности. Например, запись м/с плоха. Из такой записи следует, что мы как то сумели рассчитать численное значение скорости в тысячу раз точнее, чем позволяли нам приборы. ( Действительно, ответ дан с точностью до 5-го знака после запятой, а погрешность имеется уже во втором знаке после запятой, что полностью дискредитирует как сам результат, так и человека его записавшего.) В данном примере следует округлить значение абсолютной погрешности до одной значащей цифры: = 0,03 м/с и оставить в приближенном значении скорости два знака после запятой (т. е. столько же, сколько и в абсолютной погрешности): v = 0,56 м/с. Правильная запись ответа должна выглядеть так: и м/с.

Источник: http://gimn1567.ru/nmr_pogr. htm