Рассинхронизация и хаос в двух индуктивно-связанных генераторах Ван-дер-Поля (стр. 2 )

при,, при,,

Представим графически данные неравенства и условия

Рис.5. Область существования синхронизации лежит в области выше оси абсцисс.

       Таким образом, в линейном приближении области синфазной и полной противофазной синхронизации неразличимы и никакой полезной информации извлечь не удалось. Тогда лучше это вообще убрать.

Динамические режимы системы

       Негиперболические системы могут обладать очень сложным бассейном притяжений, где часть аттракторов вообще невозможно отследить в силу ограниченной точности численных расчетов. Проиллюстрируем это несколькими примерами.

       Задавшись, например, следующими параметрами автогенераторов

1	1	0.5

можно легко получить следующую картину поведения системы.

Рис. 6. Из графика видно, что на отрезке времени оба автогенератора находились на одном аттракторе, после указанного интервала “перескочили” на другой.

Рассмотрим данную ситуацию подробнее, выясним, как ведет себя система на интервале и.

IC:

Рис. 7. Эволюция системы автогенераторов во времени. Видно, что первоначально система попадает на хаотический аттрактор (в спектре чисел Ляпунова присутствует один положительный показатель).

Сходимость показателей Ляпунова наглядно свидетельствует следующий график (график взят из работы?) Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L., &Vastano, J. A. [2].

Рис. 8. Графики сходимости чисел Ляпунова, на графике отчетливо видно присутствие положительного доминантного показателя Ляпунова.

Удостоверимся, что система попадает именно на хаотический аттрактор. Одним из главных свойств детерминированного хаоса является неустойчивость к малым вариациям в начальных условиях. Для наглядности будем запускать эволюцию системы из двух близких точек в фазовом пространстве и отследим отклонения по одноименной переменной (по любой из фазовых переменных) с течением времени.

Рис. 9. Неустойчивость к малым изменениям в начальных условиях. График иллюстрирует отклонения между двумя траекториями (повторное моделирование) системы (по фазовой координате) эволюционирующими из малой области фазового пространства порядка .

Из рисунка видно что, в интервале времени существует неустойчивость к малым изменениям в начальных условиях и энтропия Колмогорова-Синая характеризуется значением , тогда как после неустойчивость исчезает и энтропия Колмогорова-Синая равна , то есть имеет место устойчивый предельный цикл.

Другим важным свойством характеризующим хаос является спектр его мощности, построим для хаотического аттрактора спектр мощности по переменной .

       Типичный спектр мощности сигнала системы автогенераторов

Рис. 10. Спектр мощности. Заметно, что спектр практически непрерывно изрезан в области низких частот и является непрерывным. Таким образом, спектр указывает на хаотическую динамику. Каким образом?

При старте системы из точки в фазовом пространстве она остается некоторое время на одном аттракторе (мы наблюдаем полную синфазную синхронизацию), но при достижении некоторого времени синхронизация разрушается благодаря “отталкивающей” силе индуктивного взаимодействия. Ввиду того что на отрезке времени где сохранялся режим синфазной синхронизации наблюдается достаточно много осцилляций, то можно заключить что система попадает все же на аттрактор, так как переходный процесс на другие аттракторы занял всего несколько периодов колебаний.

Время “жизни” на таких аттракторах напрямую зависит от точности машинных расчетов, ввиду этого обнаружить все аттракторы невозможно (затруднительно) [6].

Аналогичная ситуация наблюдается в следующих областях параметров

IC:        

Рис. 11. Темными областями указаны условия попадания на хаотический аттрактор ().

Данный эффект попадания на хаотический аттрактор соответствует достаточной узкой области фазового пространства при полной фазовой синхронизации и симметрично для полной противофазной синхронизации.

Система демонстрирует структурно неустойчивый хаос, что подтверждается наличием положительных чисел Ляпунова, сложным спектром мощности, ограниченностью времени пребывания на аттракторе и неустойчивостью к малым вариациям начальных условий. Условия возникновения хаоса следующие: при отталкивающей силе автогенераторы должны стартовать из малой области фазового пространства, а при притягивающей силе из малой области характерной для полной противофазной синхронизации.

Устойчивого хаоса в системе не обнаружено.

Области синхронизации

Ограничимся исследованием режимов синхронизации для стационарных динамических режимов. Ввиду наличия в системе достаточно продолжительного метастабильного хаоса, реализующегося на ранних этапах эволюции системы, возникает проблема определения времени пребывания системы на таких хаотических аттракторах. На сегодняшний день методов определения таких времен не существует, будем исходить из предположения, что это время ограничено (контрпримера обнаружить не удалось), тогда можно определить его границы для некоторого набора частных случаев (достаточно большого) численных симуляций системы. Такой прямой перебор указал на время порядка сотни периодов колебаний системы, таким образом, задавшись временем значительно превышающим (что?) (например, на порядок) будем считать, что система "ушла" из временного "коридора" метастабильного хаоса. В результате получены области полной синфазной, полной противофазной синхронизации, частотной синхронизации и рассинхронизации (рис. 12-15).

IC:        (a),                                (b)