Рассинхронизация и хаос в двух индуктивно-связанных генераторах Ван-дер-Поля (стр. 1 )

Рассинхронизация и хаос в двух индуктивно-связанных генераторах Ван-дер-Поля

,

Уральский федеральный университет имени первого Президента Ельцина, Российская федерация, 620002, Екатеринбург, ,*****@***com; 8(343)375-93-49, *****@***ru

В статье рассмотрена система автономных индуктивно связанных автогенераторов Ван-дер-Поля. Для двух связанных автогенераторов установлено наличие метастабильного хаоса, странного нехаотического аттрактора, а так же несколько устойчивых предельных циклов. Получены области параметрической зависимости различных режимов синхронизации.

Введение

Понимание механизмов возникновения хаоса и коллективных эффектов в сложных системах является актуальной задачей. Как известно, взаимное влияние автогенераторов приводит к такому явлению, как синхронизация автоколебаний [1, 4, 7, 8, 9, 10, 11], при котором фазы или частоты автоколебаний различных генераторов становятся близки друг к другу. Вместе с тем, возможно и такое соединение генераторов, при котором будут возникать хаотические режимы, а так же режимы рассинхронизации автоколебаний. Последнее явление гораздо менее изучено в теоретическом плане. Между тем, рассинхронизация осцилляторов может привести к возникновению достаточно сложного поведения в системе, поскольку топология связей и их знаки порождают большое разнообразие возможных структур. В частности, возникновение и свойства хаоса должны существенным образом зависеть от топологии и типов связей между автогенераторами. В данной работе рассмотрены два взаимодействующих автогенератора Ван-дер-Поля с индуктивной связью. Эта связь может иметь как положительный, так и отрицательный знак, что будет приводить к синхронизации или рассинхронизации автоколебаний.

Система уравнений для двух индуктивно-связанных генераторов Ван-дер-Поля

Моделирование генератора Ван-дер-Поля проводилось ранее неоднократно [1, 8, 10]. Например, в работах [8, 10] рассмотрены связанные генераторы Ван-дер-Поля. В таких системах изучалась их синхронизация [8], а так же возникновение хаоса [10]. Вместе с тем, поскольку свойства хаотического поведения должны существенным образом зависеть как от механизма, так и от интенсивности связи, то необходимо отдельное рассмотрение каждого механизма в отдельности. Одним из таких механизмов может быть индуктивная связь между генераторами Ван-дер-Поля, однако, возникновение и параметры хаотического поведения в такой системе остаются мало изученными.

Рассмотрим классическое уравнение Ван-дер-Поля в безразмерном виде

               ,        (1)

где ,

– емкость конденсатора цепи, - коэффициент самоиндукции, - сопротивление, - коэффициент взаимоиндукции RCL контура с контуром нелинейного усилителя, - нелинейная характеристика усилителя,

.

Существует большое число вариантов связи между автогенераторами [1, 3, 8, 9]. Рассмотрим случай индуктивной связи двух одинаковых контуров. В этом случае систему уравнений можно записать в виде:

       ,        (2)

гдеM12 – коэффициент взаимной индукции, который может быть как положительным, так и отрицательным, в зависимости от взаимного расположения катушек.

Условия синхронизации и рассинхронизации двух связанных генераторов

       Найдем условия (в линейном приближении), при которых будет наблюдаться фазовая синхронизация в двух связанных одинаковых генераторах Ван-дер-Поля.

Известны три режима работы одиночного осциллятора Ван-дер-Поля (затухающие колебания?)

, отсутствие колебаний, , режим мягкого возбуждения колебаний, , режим жесткого возбуждения колебаний,

Под фазовой синхронизацией будем понимать такое состояние, когда совпадают частоты сигналов, но различны их амплитуды.

Рис. 1. Фазовая синхронизация сигналов (совпадение частот при различных амплитудах)

Под полной синхронизацией будем понимать такое состояние, когда совпадают частоты сигналов и их амплитуды.

Рис. 2. Полная синхронизация сигналов (совпадение частот и амплитуд)

Под термином «рассинхронизация» будем понимать тот случай, когда нет совпадения частот сигналов и их амплитуд

Рис. 3. Рассинхронизация сигналов (нет совпадения частот и амплитуд).

Под полной противофазной синхронизацией будем понимать событие, когда совпадают частоты сигналов и их амплитуды, но есть сдвиг фазы одного сигнала относительно другого на р радиан.

Рис. 4. Полная противофазная синхронизация сигналов (совпадение частот и амплитуд с постоянным сдвигом фаз на р радиан)

Для наступления полной синхронизации необходимо чтобы выполнялось следующее условие , или аналогичное условие для полной противофазной полной синхронизации . Вычтем (для анализа полной синхронизации) из первого уравнения системы (2), второе, линеаризуем, тогда получим для идентичных автогенераторов

                               (3)

Для анализа противофазного режима полной синхронизации сложим уравнения (6) и получим

                       (4)

Характеристические уравнения для (7, 8) будут иметь вид:

                                       (5)

Корни этого уравнения для фазовой синхронизации

                                       (6)

и для противофазной

                                       (7)

где- Ляпуновские числа.

Для наступления синхронизации необходима отрицательность вещественных частей.

При условии существования колебаний () получим следующее неравенства и условия:

. При коэффициенте взаимоиндукции равном единице получим сингулярные числа Ляпунова (знаменатели (6,7) обратятся в ноль), в таком случае ничего нельзя сказать о синхронизации-почему?) Подкоренные выражения числителей (6, 7) могут быть положительны, отрицательны либо равны нулю, при действительная часть числителей не изменится. Если ,что эквивалентно следующим неравенствам , но , отсюда или . Таким образом знаки числителей остались неизменными.

       В итоге для наступления полной синфазной синхронизации сформулируем полученные результаты

при        ,, при, ,

       Аналогично для противофазного режима полной синхронизации