Рассинхронизация и хаос в двух индуктивно-связанных генераторах Ван-дер-Поля (стр. 4 )

Рис. 17. Распределение локального показателя Ляпунова на аттракторе.

Из рисунка видно, что существует хвост распределения с положительным показателем Ляпунова. Глобальное значение доминантного показателя Ляпунова

Рис. 18Графики сходимости чисел Ляпунова и стремление к нулю доминантного показателя.

Важным свойствам любого странного аттрактора является его размерность, которая должна быть дробной. Оценим размерность данного аттрактора с помощью корреляционного интеграла по методу Grassberger, P., &Procaccia, I.[12].

Рис. 19 Корреляционный интеграл, значение корреляционной емкости принимает дробное значение и равно

Таким образом, имеем аттрактор (напоминающий тор), который мог быть образован автогенераторами с иррациональным соотношением частот. Однако в данном случае отсутствует экспоненциальное разбегание траектории (в масштабах всего аттрактора) с хвостом локального распределения показателя Ляпунова в положительной полуоси и корреляционная размерность принимает дробное значение, что позволяет отнести его к классу странных нехаотических аттракторов [14]. Ввиду сложности анализа СНА (странный нехаотический аттрактор) привести области реализации в системе таких аттракторов нет возможности.

       Необходимым (но не недостаточным) условием к реализации СНА служит наличие в системе неодинаковых автогенераторов, которые имеют собственные неодинаковые частоты автоколебаний и слабого индуктивного взаимодействия между ними.

       В остальной области силы наблюдается два аттрактора.

Заключение

Установлено что генераторы Ван-дер-Поля при индуктивной связи могут выступать в роли источника неустойчивых хаотических колебаний. Детерминированный хаос в такой системе исключительно метастабильный (структурно неустойчивый, он разрушается с течением времени).        Метастабильный хаос характеризуется одним положительным показателем Ляпунова, существенной восприимчивостью к малым вариациям начальных условий и временем "горизонта предсказания" (порядка сотни периодов осцилляций). Таким образом, в системе на начальном этапе при старте системы из достаточно малой области фазового пространства (в пределах точности машинных расчетов можно утверждать, что автогенераторы системы эволюционируют в области одного аттрактора) и слабой связи, реализуется неустойчивость по одному направлению в области фазового пространства, в результате чего система автогенераторов находящаяся первоначально на одном аттракторе эволюционирует таким образом, что каждый из автогенераторов переходит к различным аттракторам. Как следствие число аттракторов должно быть несколько, то есть, как минимум должна быть параметрическая область где реализуется бистабильный динамический режим. Число обнаруженных аттракторов в зависимости от параметров может меняться от трех до одного, таким образом выявлены области как мультистабильных так и бистабильных режимов.

Для неидентичных автогенераторов было установлено наличие странных нехаотических аттракторов [14] при слабой силе взаимодействия, то есть отсутствует положительный глобальный доминантный показатель Ляпунова, тогда как распределение локального выявило наличие "хвоста" в положительной области. Фрактальная размерность была оценена при помощи корреляционной размерности, и оказалась равна 1.6. По совокупности признаков можно однозначно судить о том, что такие аттракторы относятся к типу СНА (странный нехаотический аттрактор).

Полная синфазная синхронизация возможна только для идентичных генераторов, вызвано это тем, что автогенераторы должны одновременно эволюционировать в области притяжения одно и того же аттрактора. Противофазная синхронизация наблюдается так же при одновременном движении системы на одном аттракторе, но со сдвигом по фазе.

Явление рассинхронизации связано с движением автогенераторов по разным аттракторам.

Обнаружен метастабильный хаос, получены параметрические области его существования рис. 11, время пребывания на котором оценивается в рамках временного интервала порядка сотен периодов автоколебаний, с последующим переходом автогенераторов по разным аттракторам.

При мягком возбуждении идентичных автогенераторов () система обладает тремя аттракторами (см. приложение 1, рис. 1-2), а в диапазоне () одним (см. прил. 1, рис. 3). В жестком режиме число аттракторов остается неизменным при любой силе (см. прил. 1, рис. 6-7). Аттрактором системы свойственен эффект зеркалирования (см. прил. 1, рис. 8) при смене знака силы индуктивного взаимодействия.

Для неидентичных автогенераторов при обнаружен странный нехаотический аттрактор рис. 16, в виду достаточно трудоемких расчетов провести более тщательно детальный параметрический анализ не представляется возможным.

Наступление режимов полной синфазной и противофазной синхронизации системы из идентичных автогенераторов зависит только от силы индуктивного взаимодействия, то есть при притягивающей связи наступает полная синфазная, соответственно при отталкивающей противофазная синхронизация. Для неидентичных автогенераторов возможна рассинхронизация и частотная синхронизация.

Список литературы

Пиковский, А., Розенблюм, М., &Куртс, Ю. (2003). Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера. Wolf, A., Swift, J. B., Swinney, H. L., &Vastano, J. A. (1985). Determining Lyapunov exponents from a time series. Physica D: Nonlinear Phenomena, 16(3), 285-317. Xiao, K., &Guo, S. (2010). Synchronization for two coupled oscillators with inhibitory connection. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 33(7), 892-903. Kuznetsov, S. P., Pikovsky, A. S., &Feudel, U. (1995). Birth of a strange nonchaotic attractor: A renormalization group analysis. Physical Review-Section E-Statistical Physics Plasma Fluids Related Interdiscpl Topics, 51(3), R1629. Anishchenko, V. S., Astakhov, V., Neiman, A., Vadivasova, T., &Schimansky-Geier, L. (2007). Nonlinear dynamics of chaotic and stochastic systems: tutorial and modern developments. Springer. Arenas, A., Diaz-Guilera, A., Kurths, J., Moreno, Y., & Zhou, C. (2008). Synchronizationincomplexnetworks. PhysicsReports, 469(3), 93-153. Aon, M. A., Cortassa, S., & O’Rourke, B. (2006). The fundamental organization of cardiac mitochondria as a network of coupled oscillators. Biophysicaljournal, 91(11), 4317-4327. Емельянова, Ю. П., & Кузнецов, А. П. (2011). Синхронизация связанных автогенераторов Ван-дер-Поля и Кислова− Дмитриева. Журнал технической физики, 81(4). Danino, T., Mondragуn-Palomino, O., Tsimring, L., & Hasty, J. (2010). A synchronized quorum of genetic clocks. Nature, 463(7279), 326-330. Kapitaniak, T., &Steeb, W. H. (1991). Transition to hyperchaos in coupled generalized van der Pol equations. PhysicsLetters A, 152(1), 33-36. Yorke, J. A., &Yorke, E. D. (1979). Metastable chaos: the transition to sustained chaotic behavior in the Lorenz model. JournalofStatisticalPhysics, 21(3), 263-277. Grassberger, P., &Procaccia, I. (1983). Characterization of strange attractors. Physicalreviewletters, 50(5), 346-349. Eckmann, J. P., &Ruelle, D. (1985). Ergodic theory of chaos and strange attractors. Reviewsofmodernphysics, 57(3), 617. Grebogi, C., Ott, E., Pelikan, S., &Yorke, J. A. (1984). Strange attractors that are not chaotic. Physica D: NonlinearPhenomena, 13(1), 261-268.

Приложение 1

Наблюдаемые аттракторы системы

Рис. 1. Фазовый портрет системы в координатах

, состоит из трех аттракторов (а, b, c).

Рис.2. Фазовый портрет системы в координатах

, состоит из трех аттракторов (а, b, c).

Рис. 3. Фазовый портрет системы в координатахи , состоит из одного аттрактора.

Рис. 4. Фазовый портрет системы в координатахи , состоит из одного аттрактора.

Рис. 5. Зеркалированный аттрактор относительно плоскости , в координатах , (а) - соответствует , (б) -

Рис.6. Фазовый портрет системы в координатах

, состоит из трех аттракторов (а, b, c).

Рис.7. Фазовый портрет системы в координатах

, состоит из трех аттракторов (а, b, c).

Рис. 8. Симметричные аттракторы (M+, M-)