Сборник задач На отыскание наибольших и наименьших значений с решениями (стр. 2 )

№3(МЭИС, 1978)

На странице книги текст должен занимать S. Верхнее и нижнее поля должны быть по a см, правое и левое - по b см. Если принимать во внимание экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

  Дано: S, 2a, 2b.

  Найти: Sстраницы.

Решение:

Пусть x-высота печатного текста; тогда его ширина. Таким образом, высота страницы x+2a см, а ее ширина 2b см, откуда Sлиста=(x+2a)(=2a*+2bx+S+4ab. Величины S и 4ba не зависят от размеров страницы; получаем функцию f(x)=2aS/x+2bx, x(0;), наименьшее значение которой надо найти. Критическая точка определяется из уравнения 2as/2b=0, откуда =as/b, т. е. x=, т. к f(0)=f(+)=+, то f(x)- точка min. Найдем ширину печатного текста =s/=.

Ответ: искомая ширина печатного листа равна .

№4(МВТУ, 1977)

Правильная треугольная призма помещена в шар так, что одно из ее боковых ребер лежит на диаметре шара, а все вершины противоположной грани принадлежат поверхности шара. Найдите V призмы, если ее высота H, а радиус шара R. При каком значении H объем призмы будет наибольшим?

Дано: ABC-Правильная призма,

  H-высота; w-шар опис., R-Радиус шара.

  Найти: Vmax. при H и V призмы.

Решение:

Рассмотрим сечения шара  плоскостями, содержащими основание призмы, лежащие на диаметре шара, оказываются центрами, а стороны оснований, выходящих из этих вершин,- радиусами. Из равенства оснований вытекает и равенство сечений. Поэтому плоскости оснований лежат на одинаковом расстоянии от центра шара равном H/2. Из прямоугольного AOB, в котором OA=, OB=R, находим AB=

==, Vпр=H=, причем H(0;). Найдем производную Vпризмы по H: Vʹ(H)=(/16)()=0, откуда H=, т. к. v(0)=V(2R)=0, а V()=0, то наибольшее значение V призмы достигается при H=R

Ответ:Vпр=, при H=R Vmax.

№5

Каков должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной  S, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим.

  Дано:ABC., /AB/=/BC/=/CA/.,

  S-площадь.,(0;h)впис. в ,

  R-Радиус круга.

  Найти: ACB?

Решение:

Пусть основание имеет длину 2b, а угол при основании 2a. Тогда r=OH=CHtga=b•tgб. Выразим b через заданную площадь S треугольника. S=AC•BH=b•b tg2a, откуда =.