Сборник задач
На отыскание наибольших и наименьших значений с решениями
Учитель Бондаренко. Г.А.
Г. Краснодар 2011г.
Задачи с оптимальным содержанием называются задачами на отыскание наибольших и наименьших значений. В них требуется определить, при каких условиях некоторая числовая характеристика фигуры принимает наибольшее или наименьшее значение.
Для решения таких задач исследуемую величину выражают так, как функцию того или иного аргумента(параметра), и с помощью производной находят наибольшее или наименьшее значение полученной числовой функции.
Выбор параметра(числового аргумента) определяется обычно условием задачи.
При отыскании наибольших и наименьших значений существенным является не только вид исследуемой функции, но и область изменения ее аргумента, которая определяется из геометрических соображений.
Общая схема решения.
1.Найти критические точки функции, т. е такие внутренние точки области определения, в которых производная обращается в нуль.
2.Если областью изменения аргумента является интервал (a;b), следует вычислить
и 
, вместо f(a) и f(b)
№1(МАИ, 1977)
В треугольнике заданы сторона a и периметр 2p. Какие длины должны иметь две другие стороны, чтобы его площадь была максимальной?
Дано:
ABC, a-сторона.,
2p-периметр.
Найти: Smax.
Решение:
Пусть x-длина одной из неизвестных сторон; тогда другая сторона имеет длину 2p-a-x. Согласно формуле Геррона, S=
, при 0 
, Т. К. квадратный корень монотонная ф-я, то max значение площади достигается при том же x, что и произведение p(p-a)(p-x)(a+x-p). Это произведение содержит 2 сомножителя, которые не зависят от x. Это квадратный трехчлен относительно x, имеет корни x=p и x=p-a. Критической точкой служит x=
=
. Значение рассматримого произведения в этой точке положительно, а на концах (0;2p-a)равно 0, то при x=
имеет место max. Таким образом искомый треугольник является равнобедренным со сторонами a,
,
.
Ответ: Две другие стороны треугольника должны иметь длины 
и 
, чтобы треугольник при заданной стороне a и периметре 2p имел наибольшую площадь.
№2 (МИИТ, 1977).
В равнобедренном треугольнике с углом 2б при вершине найти отношение 
радиусов вписанного и описанного кругов и доказать, что R
2r. Для какого равнобедренного треугольника. R=2r?
Дано:
ABC.,/AB/=/BC/=/CA/
.,
R-радиус описанной окружности,
r-радиус вписанной окружности.
Доказать: R
2r
Доказательство:
Обозначим длину боковой стороны 
через a, тогда его S=
. С другой стороны, S=rp, где p-полупериметр. Т. к в равнобедренном 
p=a+asin
, то r=
asin2
/(1+sin
). Радиус R описанного круга найдем по теореме синусов: 2R=
, где 
A=90
-
R=
и 
т. е f(
)=
. Исследуем f(
) на max и min.
(0;
). f
(
)=2(1-2sin
)cos
, откуда f
(
)=0, при 
=
и
=
, где
(0;
) Т. е 
=
=0, f(
)=
, то наибольшее значение f(
) достигается при
=
, и равно 
,
для любого равнобедренного треугольника 2r
R, причем для равностороннего треугольника. ч. т.д.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
