Тема исследовательской работы: Алгебраические и трансцендентные кривые.
Цель: изучение и сравнение алгебраических и трансцендентных кривых.
№ | Название | Адрес | Аннотация |
1 | Что такое математика и что она изучает | https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0 | Общее описание основных сведений о предмете математика и её история происхождения. |
2 | Что собой представляет кривая линия | https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F | Определение кривой линии. |
3 | Раздел математики «Геометрия» | https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F | Определение термина «Геометрия». |
4 | Что такое график функции и что собой представляет | https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8 | Ознакомление с графиком функции в математике. |
5 | Виды трансцендентных кривых | http://physics. nad. ru/curves1.html | Виды трансцендентных кривых с их описанием. |
6 | Введение понятия трансцендентной кривой | http://megabook. ru/article/%D0%A2%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F%20%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F | Определение трансцендентной кривой и её основные характеристики. |
7 | Что собой представляет алгебраическая кривая | https://ru. wikipedia. org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F | Определение алгебраической кривой и её основные характеристики. |
8 | Классификация кривых линий | http://www. studfiles. ru/preview/1762772/ | Кривые линии, общее представление, определения, сведения и их классификация. |
9 | Понятие метода координат | http://www. studfiles. ru/preview/5474439/ | Метод координат на плоскости и виды задач, решаемых этим методом. |
10 | Введение понятия Алгебра | http://ru. rfwiki. org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0 | Ознакомление с термином «Алгебра» и её классификацией. |
Глоссарий:
Литература:
Обзор:
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Математические объекты создаются путём идеализации свойств реальных или других математических объектов и записи этих свойств на формальном языке. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Математика — фундаментальная наука, предоставляющая (общие) языковые средства другим наукам; тем самым она выявляет их структурную взаимосвязь и способствует нахождению самых общих законов природы.
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом, первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики.
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Алгебра — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.
Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:
- Элементарная алгебра, которая изучает свойства операций с вещественными числами, где символами обозначаются постоянные и переменные, а также правила преобразования математических выражений и уравнений с использованием этих символов. Обычно преподаётся в школе под названием алгебра. Университетские курсы теории групп тоже можно назвать элементарной алгеброй. Общая алгебра, иногда называемая современной алгеброй или абстрактной алгеброй, где алгебраические структуры, такие, как группы, кольца и поля аксиоматизируются и изучаются. Линейная алгебра, в которой изучаются свойства векторных пространств (включая матрицы). Универсальная алгебра, в которой изучаются свойства, общие для всех алгебраических структур (считается подразделом общей алгебры). Алгебраическая теория чисел изучает свойства чисел в различных алгебраических системах. Теория чисел была создана путём расширения и обобщения алгебры. Алгебраическая геометрия применяет достижения алгебры для решения проблем геометрии. Алгебраическая комбинаторика, в которой методы абстрактной алгебры используются для изучения вопросов комбинаторики.
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Геометрия как систематическая наука появилась в Древней Греции, её аксиоматические построения описаны в «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась изучением простейших фигур на плоскости и в пространстве, вычислением их площади и объёма. Предложенный Декартом в 1637 году координатный метод лёг в основу аналитической и дифференциальной геометрии, а задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. При этом все построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения связаны с работами Лобачевского в 1829 году, который отказался от аксиомы параллельности и создал новую неевклидову геометрию, определив таким образом путь дальнейшего развития науки и создания новых теорий.
Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году и содержащая в своей основе инвариантность геометрических объектов относительно различных групп преобразований, сохраняется до сих пор.
Общепринятую в наши дни классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы.
Евклидова геометрия, в которой предполагается, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении.
- Планиметрия — раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости. Стереометрия — раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.
- Проективная геометрия, изучающую проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях. Аффинная геометрия, изучающая свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Начертательная геометрия — инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости.
Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми.
Кривая линия – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной.
В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущейся точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения поверхностей, как множество точек, обладающих каким-либо общим для всех их свойством, и т. д.
Способы задания кривой линии
- аналитический– кривая задана математическим уравнением; графический– кривая задана визуально на носителе графической информации; табличный– кривая задана координатами последовательного ряда точек.
Классификация кривых линий
Кривые линии могут быть закономерными, описанными уравнением, инезакономерными.
Закономерные кривые линии делятся на алгебраические, определяемые алгебраическими уравнениями (эллипс, парабола, гипербола и др.), итрансцендентные, определяемые трансцендентными уравнениями (синусоида, циклоида, спираль Архимеда и др.).
Важной характеристикой алгебраической кривой является ее порядок (трансцендентные кривые порядка не имеют). С алгебраической точки зрения порядок кривой линии равен степени ее уравнения, с геометрической - наибольшему числу точек пересечения кривой с прямой линией для плоских кривых и с произвольной плоскостью для пространственных.
Например, эллипс - кривая второго порядка, имеет уравнение x2/a2+ y2/b2= 1 второй степени, пересекается с прямой максимум в двух точках.
Прямую линию, имеющую уравнение первой степени ax + by + c = 0 (с произвольной прямой пересекается в одной точке), можно рассматривать как линию первого порядка. Кривыми второго порядка являются также окружность, парабола, гипербола.
Примерами кривых третьего порядка могут служить строфоида, Декартов лист, циссоида; четвертого - лемниската Бернулли, кардиоида, улитка Паскаля.
Начертательная геометрия изучает кривые линии и различные операции с ними по их проекциям на комплексном чертеже. Построение проекций кривой линии сводится к построению проекций ряда ее точек. В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями. Кривая линия определяется двумя своими проекциями.
Кривые линии, все точки которых принадлежат одной плоскости, называются плоскими, остальные –пространственными.
Трансцендентная кривая — кривая, уравнение которой в прямоугольной системе координат (декартовых координатах) является не алгебраическим, а трансцендентным. Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических кривых могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин. Примером трансцендентной плоской кривой линии является синусоида, получающаяся в результате двойного равномерного движения точки — поступательного движения, а затем возвратно-поступательного в направлении, перпендикулярном поступательному движению.
У трансцендентных кривых могут быть характерные точки, которых не существует у алгебраических кривых: точки прекращения, угловые точки (точки излома), асимптотические точки. Простейшими примерами графиков трансцендентных кривых служат графики логарифмической функции, показательной тригонометрической функции, спирали, циклоиды. Кривая линия как траектория движущейся точки должна быть непрерывной. Движущаяся точка в любом положении должна иметь определенное направление движения. Это направление указывает прямая (касательная), проходящая через рассматриваемую точку.
Длина отрезка кривой линии определяется в общем случае, как сумма длин отрезков вписанной в нее ломаной линии, с заданной точностью передающей форму кривой. Окружность и цилиндрическая винтовая линия являются эталонами соответственно плоской и пространственной кривых линий. В практике конструирования линий и поверхностей используются обводы — кривые, составленные из дуг кривых, определенных парами смежных точек. Обводом ряда точек плоскости является плоская кривая, ряда точке пространства — пространственная кривая. Точки стыка дуг называются узлами. Обвод, заданный координатами своих точек, называется дискретным. Обвод называется гладким, если дуги обвода в узлах имеют общие касательные.
Архимедова спираль — плоская кривая, траектория точки M, которая равномерно движется вдоль луча с началом в O, в то время как сам луч равномерно вращается вокруг O. Другими словами, расстояние с пропорционально углу поворота ц луча. Повороту луча на один и тот же угол соответствует одно и то же приращение с. Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так: с = k·ц, где k - смещение точки M по лучу r, при повороте на угол равный одному радиану. Повороту прямой на 2р соответствует смещение a = 2kр. Число a - называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так: с = (a/2р)·ц
Гиперболическая спираль — плоская трансцендентная кривая. Уравнение гиперболической спирали в полярной системе координат является обратным для уравнения Архимедовой спирали и записывается так: с·ц = k. Параметрическая запись уравнения: x= k·cos(t)/t; y=k·sin(t)/t. При t->0: x-> ∞; y->k
Логарифмическая спираль или изогональная спираль Ї особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл её Spira mirabilis ("удивительная спираль"). В полярных координатах кривая может быть записана как с= a·exp(b·ц) либо ц=(1/b)·ln(r/a), что объясняет название "логарифмическая". В параметрической форме может быть записана как x(t)=a·exp(bt)cos(t); y(t)=a·exp(bt)sin(t). Якоб Бернулли хотел, чтобы на его могиле была выгравирована логарифмическая спираль, но вместо этого по ошибке его на надгробие поместили Архимедову спираль.
Цепная линия — линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить или цепь (отсюда название) с закрепленными концами. Является плоской трансцендентной кривой. Уравнение в декартовых координатах: a·(exp(x/a)+exp(-x/a))/2. Цепь подвесного моста имеет массу намного меньшую, чем пролёт. При таких условиях цепь принимает форму параболы, а не цепной линии. Перевёрнутая цепная линия - идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не излома.
Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. В прямоугольных координатах: (x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) = 0, в полярных координатах:
с2 = 2a2cos(2ц). Лемниската по форме напоминает восьмёрку. Название "лемниската" восходит к античному Риму, где так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению. Обобщением является многофокусная лемниската.
Алгебраическая кривая или плоская алгебраическая кривая— это геометрическое место (множество) точек на плоскости (O; x; y), которое определяется как множество нулей многочлена от двух переменных. Степенью (или порядком) n этой кривой называется степень этого многочлена. Алгебраические кривые степеней n = 1, 2, 3, … , 8 кратко называются прямыми, кониками, кубиками, квартиками, пентиками, секстиками, септиками, октиками соответственно. Например, единичная окружность — это алгебраическая кривая степени 2 (коника), так как она задаётся уравнением x2 + y2 − 1 = 0.
По многим техническим причинам удобно рассматривать не только вещественные, но и комплексные корни соответствующего многочлена, а также обобщить определение на случай произвольного основного поля.
В алгебраической геометрии, плоская аффинная алгебраическая кривая над полем k определяется как множество точек K2, являющихся корнями многочлена от двух переменных с коэффициентами в k, где K — алгебраическое замыкание поля k. Точки этой кривой, все координаты которых лежат в k, называются k-точками. Например, точка 
принадлежит рассмотренной выше единичной окружности, однако не принадлежит её действительной части. Многочлен x2 + y2 + 1 задаёт алгебраическую кривую, действительная часть которой пуста.
Более общо, можно рассматривать алгебраические кривые, содержащиеся не в плоскости, а в пространстве с большим числом измерений или в проективном пространстве. Оказывается, что многие свойства алгебраической кривой не зависят от выбора конкретного вложения в некоторое пространство, и это приводит к общему определению алгебраической кривой:
Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности.
Изучение алгебраических кривых может быть сведено к изучению неприводимых кривых (то есть не раскладывающихся в объединение двух меньших кривых). Каждой такой кривой можно сопоставить поле рациональных функций на ней; оказывается, что кривые бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Это значит, что категория алгебраических кривых и рациональных отображений двойственна категории одномерных полей алгебраических функций, то есть полей, являющихся алгебраическими расширениями поля.
